证明：有界数列任何收敛子列都有相同极限，则该有界数列收敛！

证明：设任意收敛子列的相同极限＝a。

反证法，若该有界数列不收敛于a,设该数列为｛An}；则有存在小量e,对于任意正整数N，存在n,n>N;使得／An-a/>e。

首先，取N=1;存在n1,使得／An1-a/>e；再取N=n1,存在n2,使得／An2-a/>e；依次类推，将得到一个子列｛Ani},每项满足／Ani-a/>e。

由于该子列｛Ani}有界，所以子列本身存在收敛子列｛Bni},，显然子列的收敛子列｛Bni}也是原数列的收敛子列；由条件知，该收敛子列收敛于a;而该收敛子列的每项又同时满足／Bni-a/>e，与收敛a,矛盾，所以原数列收敛。

学数学技巧

1、抓住课堂。理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。平日学习最重要的是课堂45分钟，听讲要聚精会神，思维紧跟老师。高质量完成作业。写作业时，有时同一类型的题重复练习，这时就要有意识的考查速度和准确率，并且在每做完一次时能够对此类题目有更深层的思考。

2、对不会做的错题：弄懂每一个步骤，并思考为什么，针对算错了的错题，如果经常出现这样的情况那么你就要：改变计算方式和习惯，比如学会检查和算两次提高准确度。

重点是要去思考，思考的深度越深，学习得就更加透彻，就会用少量的题达到很高的效果。但这样的思考不是凭空的，而是建立在错题上的思考。

证明：设任意收敛子列的相同极限=a，
反证法，若该有界数列不收敛于a, 设该数列为{An}；则有 存在小量e,对于任意正整数N，存
在n,n>N; 使得 /An-a/>e；
首先，取N=1;存在n1,使得/An1-a/>e；再取N=n1,存在n2,使得/An2-a/>e；依次类推，将得到一
个子列{Ani},每项满足/Ani-a/>e；
由于该子列{Ani}有界，所以子列本身存在收敛子列{Bni},，显然子列的收敛子列{Bni} 也是原数列的收敛子列；由条件知，该收敛子列 收敛于 a;而该收敛子列的 每项又同时满足/Bni-a/>e；
与收敛a,矛盾，所以 原数列收敛