一道数学题？

过D作DE⊥CA交CA延长线于E，链接AB，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴∠CAB+∠ABC=90°，……⑴
由勾股定理知道AB=5。在△ABD中，AB=5，AD=5，BD=5√2，由5^2+5^=(5√2)^2可知AB^2+AD^=BD^2，即△ABD是RT△，从而∠DAB=90°，∵∠CAB+∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠CAB+∠DAE=180°-∠DAB=90°，……⑵
∵DE⊥CA，∴∠ADE+∠DAE=90°，……⑶
由⑴⑵⑶可知∠CAB＝∠ADE，∠ABC=∠DAE，又∵AB=5=AD，∴RT△ABC≌RT△DAE，
∴AE=BC=4，DE=AC=3，
在RT△CDE中，∠CDE=90°，DE=3，CE=7，CD^2=DE^2+CE^2=3^2=7^2=58
∴CD=√58。

分享一种解法。应用余弦定理求解。在△ACD中，CD²=AD²+CA²-2AD*ACcos∠CAD。
而，∠CAD=∠BAD+∠CAB=90°+∠CAB，cos∠CAD=-sin∠CAB=-BC/AB=-4/5。
∴CD²=5²+3²-2*5*3*(-4/5)=58。CD=√58。

若是平面几何问题， CD 应是 √58， 不是 5√2（原答案也许有误）. 计算如下：
在直角三角形 ACB 中， AC = 3， BC = 4， 则 斜边 AB= 5， sin∠CAB = 4/5.
在三角形 ACD 中，由余弦定理，
CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 · AC · AD cos(90°+∠CAB)
= 3^2 + 5^2 + 2 · 3 · 5sin∠CAB = 9+25+24 = 58
CD = √58

用平行
5倍根号2