不能填smoking， be allowed to do sth是固定搭配。
这题不能填smoking，只能填to smoke。allow后面接名词和动词作双宾语时，一般是allow sb. to do sth.，这里用的是动词不定式，不能使用doing。这个短语的被动形式是...be allowed to do sth.，后面也是只能接to do。
不能。
allow doing他可以直接接动名词，做宾语。
allow sb to do sth后接人作宾语再接不定式作宾补。
该题属于第二种情况，只能接不定式。
不能，填to smoke
不能，用be allowed to do.
allow doing
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