1*2=1⼀3(1*2*3-0*1*2),2*3=1⼀3(2*3*4-1*2*3),3*4=1⼀3(3*4*5-2*3*4)由此得1*2+2*3+3*4=1⼀3*3*4*5=20

1*2+2*3+3*4+....+100*101
=1/3(1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+......99*100*101-98*99*100+100*101*102-99*100*101)
(括号中消去各项后只剩下第二项和倒数第二项)
=1/3(100*101*102-0*1*2)=343400
同理
1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=1/4(1*2*3*4-0*1*2*3+......+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2))
=1/4(n(n+1)(n+2)(n+3))

(1)、
解：1*2+2*3+3*4+...+100*101=1/3（1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+......+100*101*102-99*100*101）=1/3(-0*1*2+100*101*102）=343400
(2)、
解：分析知，n(n+1)(n+2)=(1/4)*(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)-(n-1)*n*(n+1)*(n+2))
所以，1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=1/4(1*2*3*4-0*1*2*3+2*3*4*5-1*2*3*4+3*4*5*6-2*3*4*5+......+n*(n+1)*(n+2)*(n+3)-(n-1)*n*(n+1)*(n+2))=1/4(-0*1*2*3+n*(n+1)*(n+2)*(n+3))=1/4(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))

1*2+2*3+3*4+....+100*101=1/3*100*101*102=3070400
1*2*3=1/4(1*2*3*4-0*1*2*3)
2*3*4=1/4(2*3*4*5-1*2*3*4)
3*4*5=1/4(3*4*5*6-2*3*4*5)
1*2*3+2*3*4+3*4*5=1/4*3*4*5*6=90
1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)

通项n(n+1) 分组求和
后面通项n(n+1)(n+2) 方法一样