已知函数f(x)=(x+1)分之(2x+1). (1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论

2024-12-28 03:40:47
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回答1:

解:1)f(x)=(2x+1)/(x+1)=2-1/(x+1)
在[1,﹢∞)上式单调递增函数
对任意x2>x1>=1
f(x2)-f(x1)=1/(x1+1)-1/(x2+1)=(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]>0
f(x2)>f(x1)

2)在区间[1,4]的最大值是f(4)=2-1/(4+1)=9/5
最小值是f(1)=2-1/(1+1)=3/2

回答2:

1.。f'(x)={(x+1)(2x+1)'-(2x+1)(x+1)'}/(x+1)²=(2x+2-2x-1)/(x+1)²=1/(x+1)²恒大于0
在[1,正无穷]为递增函数
证明;
设1≤x1<x2
f(x2)-f(x1)=(2x2+1)/(x2+1)-(2x1+1)/(x1+1)
化简得=(x2-x1)/(x2+1)(x1+1)
因为x2>x1≥1
得f(x2)-f(x1)>0
则递增
2因为递增
即在1处取最小值f(1)=3/2
在4处取最大值f(4)=9/5