古代参加科举考试的读书人是不是都必须要把《四书五经》全背下来？

不是。大学之道，在明明德。唐朝文科的科目很多，每年都举行。明清两代文科只设进士一科，考八股文。
所以《四书五经》不是每个朝代的科举必考科目，只是明朝八股文喜欢以四书五经来命题而已。
此外，科举也分很多科的，好比专业不同。
在唐代，考试的科目分常科和制科两类。每年分期举行的称常科，由皇帝下诏临时举行的考试称制科。 常科的科目有秀才、明经、进士、俊士、明法、明字、明算等五十多种。其中明法、明算、明字等科，不为人重视。俊士等科不经常举行，秀才一科，在唐初要求很高，后来渐废。所以，明经、进士两科便成为唐代常科的主要科目。唐高宗以后进士科尤为时人所重。
明经、进士两科,最初都只是试策，考试的内容为经义或时务。后来两种考试的科目虽有变化，但基本精神是进士重诗赋，明经重帖经、墨义。所谓帖经，就是将经书任揭一页，将左右两边蒙上，中间只开一行，再用纸帖盖三字，令试者填充。墨义是对经文的字句作简单的笔试。帖经与墨义，只要熟读经传和注释就可中试，诗赋则需要具有文学才能。进士科得第很难，所以当时流传有"三十老明经，五十少进士"的说法。
唐代取士，不仅看考试成绩，还要有各名人士的推荐。因此，考生纷纷奔走于公卿门下，向他们投献自己的代表作，叫投卷。向礼部投的叫公卷，向达官贵人投的叫行卷。投卷确实使有才能的人显露头角，如诗人白居易向顾况投诗《赋得原上草》受到老诗人的极力称赞。
此外，宋代也可奏请皇帝开恩，赏赐出身资格，委派官吏，开后世恩科的先例。
所以不是都必须要背《四书五经》的。

不要用现代的考试观念简单套用到古代。

古代先有宗法制度，也就是君君臣臣父父子子的时代。宗法制度被破坏，官僚制度建立以后，每个朝代都有自己的选官制度。科举是隋炀帝建立，也是为了削弱前朝士族的势力而建立的选官制度。

“四书五经”不是一本书。《大学》、《中庸》是两篇文章，《论语》、《孟子》是两本课堂笔记。南宋朱熹把《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》这四部书编在一起，并做了注释，就是《四书章句集注》。因为传说它们分别出于早期儒家的四位代表性人物孔子、曾参、子思、孟子，所以称为 “四子书”，简称即为“四书”。

明清时期，科举考试出题都在“四书五经”中。你不了解题目出处，怎么做文章啊？“帅西水浒”啊。