负数是怎样产生的？

负数是怎样产生的？

中国是世界上首先使用负数的国家．战国时期李悝（约前455～395）在《法经》中已出现使用负数的实例：“衣五人终岁用千五百不足四百五十．”在甘肃居延出土的汉简中，出现了大量的“负算”，如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算，得七算，相除得三算”．以负与得相比较，表示缺少，亏空之意，显然来自生活实践的需要．
从历史上看，负数产生的另一个原因是由于解方程的需要．据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载，由于在解方程组的时候常常会碰到小数减大数的情况，为了使方程组能够解下去，数学家发明了负数．公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义：“两算得矢相反，要以正负以名之”，并辩证地阐明：“言负者未必少，言正者未必正于多．”而西方直到1572年，意大利数学家邦贝利（R．Bombelli，1526～1572）在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义．
由于我国古代数字是用算筹摆出来的，为了区分正数和负数，古代数学家创造了两种方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数；另一种是采取在正数上面斜放一支筹，来表示负数．因为后者的思想较新，很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数．1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔（A．Girard，1595～1632）在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今．
刘徽在注解《九章算术》“方程”章时给出了正负数的加减法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”．遗憾的是他未能像正负数的加减运算那样，总结出正负数乘除运算的一般法则，而是通过具体的例子予以处理．正负数的乘除法则直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载：“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负．”
印度最早使用负数的是婆罗摩芨多（Brahmagupta，598～665），他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则，认为负数就是负债和损失，并用小点或小圈标在数字上面表示负数．
西方首先使用负数的是古希腊的丢番图（Diophantus，250年前后），尽管不承认方程的负根，但他已知道“减数乘减数得加数，加数乘减数得减数”．可见对正负数的四则运算他已了如指掌．在解方程中若出现负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的．从这可看出负数在西方备受冷落，久久得不到人们的认可．1484年，法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根，却又不承认它，说它是荒谬的数；意大利学者卡丹在《大术》中承认负根，但认为负数是“假数”．直到1637年笛卡尔（Descarts，1596～1650）在《几何》中认真考虑了方程正负根出现的规律，未加证明地给出了正负号法则，此后才被采用，但依旧议论纷纷．如法国数学家阿纳德（1612～1694）认为：若承认－1∶1＝1∶－1，而－1＜1，那么较小数与较大数的比，怎能等于较大数与较小数之比呢?直到1831年，英国著名数学家德摩根（A．DeMorgan，1806～1871）在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的．他举例说：“父亲活56，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x），得x＝－2，他说这个结果是荒谬的．
负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的．1860年维尔斯在柏林大学的一次讲课时，把有理数定义为整数对，即当m，n为整数时，n／m（m≠0）定义为一个有理数，当m，n中有一个为负整数时，就得到一个负有理数．这就把负数的基础确立在整数基础上．40年后，皮亚诺在著名的《算术原理新方法》（1889）中又用自然数确立了整数的地位：设a，b为自然数，则数对（a，b）即“a－b”定义一个整数，当a＞b时为正整数；a＜b时就得到了一个负整数．至此，通过近2000年的努力，历经数十代数学家的前仆后继的工作和努力，负数的地位终于被牢固地确立了，半个多世纪的争论也终于降下了帷幕．

负数是怎样产生的？

中国是世界上首先使用负数的国家．战国时期李悝（约前455～395）在《法经》中已出现使用负数的实例：“衣五人终岁用千五百不足四百五十．”在甘肃居延出土的汉简中，出现了大量的“负算”，如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算，得七算，相除得三算”．以负与得相比较，表示缺少，亏空之意，显然来自生活实践的需要．
从历史上看，负数产生的另一个原因是由于解方程的需要．据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载，由于在解方程组的时候常常会碰到小数减大数的情况，为了使方程组能够解下去，数学家发明了负数．公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义：“两算得矢相反，要以正负以名之”，并辩证地阐明：“言负者未必少，言正者未必正于多．”而西方直到1572年，意大利数学家邦贝利（R．Bombelli，1526～1572）在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义．
由于我国古代数字是用算筹摆出来的，为了区分正数和负数，古代数学家创造了两种方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数；另一种是采取在正数上面斜放一支筹，来表示负数．因为后者的思想较新，很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数．1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔（A．Girard，1595～1632）在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今．
刘徽在注解《九章算术》“方程”章时给出了正负数的加减法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”．遗憾的是他未能像正负数的加减运算那样，总结出正负数乘除运算的一般法则，而是通过具体的例子予以处理．正负数的乘除法则直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载：“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负．”
印度最早使用负数的是婆罗摩芨多（Brahmagupta，598～665），他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则，认为负数就是负债和损失，并用小点或小圈标在数字上面表示负数．
西方首先使用负数的是古希腊的丢番图（Diophantus，250年前后），尽管不承认方程的负根，但他已知道“减数乘减数得加数，加数乘减数得减数”．可见对正负数的四则运算他已了如指掌．在解方程中若出现负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的．从这可看出负数在西方备受冷落，久久得不到人们的认可．1484年，法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根，却又不承认它，说它是荒谬的数；意大利学者卡丹在《大术》中承认负根，但认为负数是“假数”．直到1637年笛卡尔（Descarts，1596～1650）在《几何》中认真考虑了方程正负根出现的规律，未加证明地给出了正负号法则，此后才被采用，但依旧议论纷纷．如法国数学家阿纳德（1612～1694）认为：若承认－1∶1＝1∶－1，而－1＜1，那么较小数与较大数的比，怎能等于较大数与较小数之比呢?直到1831年，英国著名数学家德摩根（A．DeMorgan，1806～1871）在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的．他举例说：“父亲活56，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x），得x＝－2，他说这个结果是荒谬的．
负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的．1860年维尔斯在柏林大学的一次讲课时，把有理数定义为整数对，即当m，n为整数时，n／m（m≠0）定义为一个有理数，当m，n中有一个为负整数时，就得到一个负有理数．这就把负数的基础确立在整数基础上．40年后，皮亚诺在著名的《算术原理新方法》（1889）中又用自然数确立了整数的地位：设a，b为自然数，则数对（a，b）即“a－b”定义一个整数，当a＞b时为正整数；a＜b时就得到了一个负整数．至此，通过近2000年的努力，历经数十代数学家的前仆后继的工作和努力，负数的地位终于被牢固地确立了，半个多世纪的争论也终于降下了帷幕． 需要考虑比零小的数字的时候就出现了负数。赚钱没赚上反而亏本了以正数是不能表示的，所以就有了负数。零的出现比负数晚，在西方。

负数的产生及意义

世界上最早最详细记载负数概念和运算法则的，是我国公元一世纪出版的《九章算>书中方程章第三题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下，下取上，各一秉，而实满斗。问上中下禾实一秉各几何？”这段话的意思是：设上等稻棵2束，中等稻棵3束，下等稻棵4束，出谷后都不满1斗。如果将上等稻棵2束加中等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，那么出谷正好都满1斗，问上、中、下等稻棵一束各出谷多少？如分别设上、中、下各禾一秉的谷子量是x，y，z，则按题意列的方程是：2x+y=1,3y+z=1,x+4z=1
用《九章算术》的直除消元法（类似加减消元法），必然会出现从零减去正数的情况，要使运算进行下去，就必须引进负数。
《九章算术》的“正负术”就是紧接着这个题目之后提出的，这是世界数学史上最卓越的成就之一。“正负术”的全文是：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异明相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。
前四句是讲正负数以及零之间的减法，意思是“同号相减，异号相加，以零减正得负，以零减负得正。后四句是讲正负数以及零之间的加法，意思是“异号相减，同号相加，零加正得正，零加负得负。”显然这是完全正确的。
至于正负数的乘除法则，《九章算术》在解方程中未必不遇到正负数的乘除运算，可惜书中未记载。例方程章第八题（即九年义务教育三年制初级中学代数第一册（下）第49页第4题）用直除法解之，从计算过程看，不仅遇到正负数的乘法运算，也遇到了正负数的除法运算，可见正负数的乘除法则已被使用，只是书中没记载而已。直到元代杰出数学家朱时杰1299年撰写的《算学启蒙》中才明确指出，正负数的乘法法则是“同名相乘为正，异名相乘为负”。对除法，朱时态虽未明确指出法则，但他在1303年撰写的《四元五鉴》中出现了正负数的除法运算，其法则归纳起来不外乎是“同名相除为正，异名相除为负”。这样到公元十三、十四世纪我国的正负数四则运算法则已臻于完整。
世界上除了我国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。
印度数学重视计算，所以认识负数稍早一些。公元七世纪，婆罗摩芨多开始认识负数并给出负数的运算法则。他对负数的解释是负债与损失。十二世纪，拜斯伽逻在《算法本原》中比较全面地讨论了负数，他得出：“正数、负数的平方，常为正数；正数的平方根有两个，一正一负”还说：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”。
希腊数学注意几何而忽视计算，他们几乎没有建立过负数的概念。阿拉伯人虽然通过印度人的著作了解到负数和负数的运算，但他们却摒弃负数。
在十二、十三世纪正负数传入欧洲，但并不被接受，到十五世纪在方程的讨论中出现负数。1484年法国的舒开曾给出二次方程的一个负根，不过他没有承认它，说负数是荒廖的数。1545年卡尔丹在《大法》一书中广泛使用了负数，并出现了虚数。十八世纪以前，欧洲数学家对负数大都持保留态度。他们被当时盛行的机械论框住了头脑，认为零是最小的量，比零还小是不可思议的，看不到正负数间的辩证关系。甚至在十八世纪少数数学家，如英国的马塞雷和德·摩尔根，还认为负数是荒谬的数，应该从代数中驱逐出去。由于负数的运算法则在直观上是可靠的，它并没有在计算上引起麻烦，所以人们还是理直气壮的加以使用着。正如法国数学家达朗贝尔所说：“对负数进行运算的代数法则，任何人都是赞成的，并认为是正确的，不管他们对这些量有什么看法。”由于欧洲掌握正负数及其运算太晚，所以在方程史上，欧洲数学家取得的许多享誉世界的成果，都比中国的晚四、五百年甚至一千七八百年。

负 数 的 产 生

中国是最早提出负数的国家。据世界上第一部有关於负数完整介绍的古算书《九章算术》记载，由於在解方程组的时侯常常会碰到小数减大数的情况，为了使方程组能够解下去，数学家发明了负数。

由於中国古代数字是用数筹摆出来的，为了区别正数与负数，古代数学家创造了两种方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示正数与负数，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数。

中国不仅最早提出负数的概念和表示方法，而且还提出了一整套正负数之间的运算法则，这些法则与我们今天所用的完全一样。负数的发明是中国对世界数学的又一大贡献，是值得我们自豪的！

负数的产生及意义
曲阜师大附中 273165 宋翠华
山东交通学校 26400 王金城
世界上最早最详细记载负数概念和运算法则的，是我国公元一世纪出版的《九章算>书中方程章第三题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下，下取上，各一秉，而实满斗。问上中下禾实一秉各几何？”这段话的意思是：设上等稻棵2束，中等稻棵3束，下等稻棵4束，出谷后都不满1斗。如果将上等稻棵2束加中等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束，将下等稻棵4束加上等稻棵1束，那么出谷正好都满1斗，问上、中、下等稻棵一束各出谷多少？如分别设上、中、下各禾一秉的谷子量是x，y，z，则按题意列的方程是：
用《九章算术》的直除消元法（类似加减消元法），必然会出现从零减去正数的情况，要使运算进行下去，就必须引进负数。
《九章算术》的“正负术”就是紧接着这个题目之后提出的，这是世界数学史上最卓越的成就之一。“正负术”的全文是：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异明相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。
前四句是讲正负数以及零之间的减法，意思是“同号相减，异号相加，以零减正得负，以零减负得正。后四句是讲正负数以及零之间的加法，意思是“异号相减，同号相加，零加正得正，零加负得负。”显然这是完全正确的。
至于正负数的乘除法则，《九章算术》在解方程中未必不遇到正负数的乘除运算，可惜书中未记载。例方程章第八题（即九年义务教育三年制初级中学代数第一册（下）第49页第4题）用直除法解之，从计算过程看，不仅遇到正负数的乘法运算，也遇到了正负数的除法运算，可见正负数的乘除法则已被使用，只是书中没记载而已。直到元代杰出数学家朱时杰1299年撰写的《算学启蒙》中才明确指出，正负数的乘法法则是“同名相乘为正，异名相乘为负”。对除法，朱时态虽未明确指出法则，但他在1303年撰写的《四元五鉴》中出现了正负数的除法运算，其法则归纳起来不外乎是“同名相除为正，异名相除为负”。这样到公元十三、十四世纪我国的正负数四则运算法则已臻于完整。
世界上除了我国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。
印度数学重视计算，所以认识负数稍早一些。公元七世纪，婆罗摩芨多开始认识负数并给出负数的运算法则。他对负数的解释是负债与损失。十二世纪，拜斯伽逻在《算法本原》中比较全面地讨论了负数，他得出：“正数、负数的平方，常为正数；正数的平方根有两个，一正一负”还说：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”。
希腊数学注意几何而忽视计算，他们几乎没有建立过负数的概念。阿拉伯人虽然通过印度人的著作了解到负数和负数的运算，但他们却摒弃负数。
在十二、十三世纪正负数传入欧洲，但并不被接受，到十五世纪在方程的讨论中出现负数。1484年法国的舒开曾给出二次方程的一个负根，不过他没有承认它，说负数是荒廖的数。1545年卡尔丹在《大法》一书中广泛使用了负数，并出现了虚数。十八世纪以前，欧洲数学家对负数大都持保留态度。他们被当时盛行的机械论框住了头脑，认为零是最小的量，比零还小是不可思议的，看不到正负数间的辩证关系。甚至在十八世纪少数数学家，如英国的马塞雷和德·摩尔根，还认为负数是荒谬的数，应该从代数中驱逐出去。由于负数的运算法则在直观上是可靠的，它并没有在计算上引起麻烦，所以人们还是理直气壮的加以使用着。正如法国数学家达朗贝尔所说：“对负数进行运算的代数法则，任何人都是赞成的，并认为是正确的，不管他们对这些量有什么看法。”由于欧洲掌握正负数及其运算太晚，所以在方程史上，欧洲数学家取得的许多享誉世界的成果，都比中国的晚四、五百年甚至一千七八百年。
参考文献
[1] 袁小明．数学史话．济南：山东教育出版社，1985．3
[2] 中外数学简史编写组．中国数学简史，外国数学简史．山东出版社，1986．8
[3] 美H·伊夫斯著，欧阳绛译．数学史概论．山西人民出版社，1886 3
第46页
摘自《中学数学杂志》2000年第5期（总第124期）
曲阜师范大学《中学数学杂志》编辑部（273165）