关于向量数量积的问题

所谓“运算”或者你以后学习的“映射”或者“函数”都是可以把一个域内（这里是向量空间）的值转换到另一个域（这里是实数）。如果所有的运算都只能算到当前空间/域内，那数学是多么局限？
“如果规定向量A乘向量B等于A的莫乘B的莫（也是可以的吧） 那就不能证明余弦定理了”，你这种定义，我不想说这不可以，但但是你的定义不能替代人家已经存在的定义。你只不过是定义了一个新运算，人家用来证明余弦定理的运算和你的一点关系都没有。

另外关于“可以”，运算的定义不是随意的，每种数学定义都有其用处，不是你说我把它定义成什么都行的

为什么要规定向量A乘向量B等于A的莫乘B的莫乘他们的夹角的cos值呢 ？用力和功为例：位移是个向量，力是个向量，如果方向一致，功应该怎么算？如果方向不一致，功应该怎么算？分力就是投影向量：方向怎么定？模怎么算？然后再算功。把这个过程一步到位，理解这个对你会有帮助的。

正是因为物理上的作功可以归结为两个向量的模与夹角余弦的乘积是这样一个结果，所以我们概括后脱离物理背景得到一个数学概念：向量的数量积。当然也可以定义向量的其它的结果为实数的运算，但是没有数量积的应用广泛。

向量是用来表示线段的方向的，而向量的模是用来表示向量的长度的。试想一下，将A向量，B向量，A乘B所得向量构成一个三角形，那么已知了A向量的模和B向量的模及其夹角是否也能构成一个全等的三角形呢？