延长试用期合法吗?

不合法。。
用人单位应当在一个月内与劳动者签定劳动合同，如果未签定劳动合同，之后的每个月都应当制服双倍工资。。
对于试用期，劳动法有明确规定。
第十九条　劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
　　同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
　　以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。
　　试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。

原则上应该按期转正，但好像事业单位的试用期是一年。如果单位认为该员工在试用期有问题，当转正时间到了时，该单位集体讨论后应该向人事部门书面报告延期转正，并说明理由。人事部门认为该理由不充分，该单位应该重新讨论并向人事部门再次报告按期转正或者延期转正。人事部门最终作出按期转正或者延期转正的通知。正式事业单位不适用劳动合同法。

合法！ 在没有正式签署有效的合同前！用人单位有权那样做

如果第一次试用期没有超过法律规定的限值，则可以协商延长。