容斥原理是什么?

2025-03-05 15:35:23
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回答1:

在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
高等数学容斥原理公式
n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m-∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)-…+(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m 两个集合的容斥关系公式:A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分) 三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 详细推理如下:
1、 等式右边改造 = {【(A+B - A∩B)+C - B∩C】 - C∩A }+ A∩B∩C
2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C
3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分: 那么A∪B∪C还缺部分7。4、等式右边【】号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分, 减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5, 则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B ) 例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析
依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人? 100-(62+34-11)=15
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
例2
某校六(1)班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人? 分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案:25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
例3
在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个? 分析:显然,这是一个重复计数问题(当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数)。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素,能“同时被3或5整除的数(15的倍数)”就是被重复计算的数,即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件。1000÷3=333……1,能被3整除的数有333个(想一想,这是为什么?)同理,可以求出其他的条件。
例4
分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析:这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数。 解答:1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个);有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个);有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表: 短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷
1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
求这个班的学生共有多少人? 分析:这个班的学生数,应包括达到优秀和没有达到优秀的。 试一试:一个班有42人,参加合唱队的有30人,参加美术组的有25人,有5人什么都没有参加,求两种都参加的有多少人?
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析
很显然,要计算木棍被锯成多少段,只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线,在此基础上加1就是段数了。 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开,木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线,显然刻度线有重复的,如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线,也是如此。所以,我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢?想一想,被计数的事物有那几类?每一类的元素个数是多少?
解答 不计木棍的两个端点,木棍的内部等分点数分别是9,11,14(相应于10,12,15等分),共计34个 由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重,必须从34中减1. 又由于4,5的最小公倍数为20,所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重,必须再减去2, 同样,6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重,必须再减去4 由于这些相重点各不相同.所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段.

回答2:

容斥原理,是求解阴影部分面积中非常重要的一种方法。

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