求定积分0-a ∫x^2*根号下a^2-x^2

2024-12-28 03:28:38

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回答1：

求定积分(0，a) ∫x²√(a²-x²) dx
解：原式=(0，a)∫(ax²√[1-(x/a)²]dx
令x/a=sint，则dx=acostdt，x=0时，t=0；x=a时，t=π/2.
故原式=(0，π/2)a⁴∫sin²tcos²tdt=(0，π/2)(a⁴/4)∫sin²(2t)dt=(0，π/2)(a⁴/8)∫sin²(2t)d(2t)
=(0，π/2)(a⁴/16)∫[(1-cos4t)/2]d(4t)=(0，π/2)(a⁴/32)∫[(1-cos4t)d(4t)
=[(a⁴/32)(4t-sin4t)](0，π/2)=(a⁴/32)×(2π)=πa⁴/16

回答2：

令x=a*sinθ,θ的范围是（0，π/2），化为三角函数的积分，下面就简单了

回答3：

其原函数为：a^2×x-1/3x^3+c（c为常数，不知道确切值，但在后面可以i=∫（上a下0）根号（a 2;-x 2;） dx=（a 2;x-x 3;／3）|（