垂径定理及其证明

垂径定理的证明
如图
，在⊙o中，dc为直径，
ab是弦，ab⊥dc于点e，ab、cd交于e，求证：ae=be，弧ac=弧bc，弧ad=
弧bd
证明
图示
连接oa、ob分别交⊙o于点a、点b
∵oa、ob是⊙o的半径
∴oa=ob
∴△oab是等腰三角形
∵ab⊥dc
∴ae=be，∠aoe=∠boe（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧ad=弧bd，∠aoc=∠boc
∴弧ac=弧bc
推导定理
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平
原本命题，其中cd垂直于直线ab
分这条弦所对的两段弧。
几何语言：因为dc是直径，ae=eb，所以直径dc垂直于弦ab，劣弧ad等于劣弧bd，优弧aco=优弧bco
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言：因为dc垂直ab，ae=eb，所以dc是圆的直径，劣弧ad等于劣弧bd，优弧aco=优弧bco
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)
只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论
参考资料：我的大脑