解答：解：（1）证明：连接A1B交AB1于E点，
在平行四边形ABB1A1中，有A1E=BE，又A1D=DC1
∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，
又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，
∴直线BC1∥平面AB1D
（2）取BC中点F，连AF，B1F
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是边长为a的正三角形，
又AC=a，BC=a，AB=a知AF⊥BC，∴AF⊥面BCC1B1
又F为BC中点，∴DF=
a，⊥面BCC1B1
3
2
∴AB1在平面BCC1B1内的射影为FB1
∴AB1与平面BCC1B1的所成角为∠AB1F
在RT△FB1A中，B1B=
a，BF=
2
2
=
(
a)2+(1 2
a)2
2
2
a，
3
2
∴∠AB1F=45°．
（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．
由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，
设
=λ，则
A1D
A1C1
=
A1M
A1B1
，λ 2
则可得DM=
λ，A1F=
a
3
2
a，
3
3
=1-MN
A1F
?MN=λ 2
（1-
a
3
3
），λ 2
∴tanθ=
=DM MN
=-3+
λ
a
3
2
(1?
a
3
3
)λ 2
．∴-3+6 2?λ
=1?λ=6 2?λ
1 2
即点D在棱A1C1上，且
=
A1D
A1C1
时，1 2
二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为
．π 4
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