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求（x2+y2)的1.5次方的二重积分？其中区域为｛（x，y）|x2+y2<=1,x2+y2<=2*x}

2024-12-14 05:38:36

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回答1：

x^2+y^2<=1，x^2+y^2<=2*x
在极坐标系中就是
r^2<=1，r^2<=2rcosθ
也就是r有两个限制条件：r<=1，r<=2cosθ
因此当θ在 (-π/2，-π/3)U(π/3，π/2)上时，r的上限是2cosθ；当θ在(-π/3，π/3)上时，r的上限是1
因此原积分化为极坐标下的积分：
2*∫(π/3，π/2)dθ∫(0,2cosθ)r^3*rdr+∫(-π/3，π/3)dθ∫(0,1)r^3*rdr
=2*∫(π/3，π/2)dθ(32cos^5 θ)/5+2π/3*1/5
=64/5*∫(π/3，π/2)dsinθ(1-sin^2 θ)^2+2π/15
=64/5*(sinθ-2/3sin^3 θ+1/5*sin^5 θ) | (π/3，π/2) +2π/15
=64/5*[ 8/15-(43根号3)/160 ]+2π/15
积分式中的(π/3，π/2)和(-π/3，π/3)都是上下限