x1等于跟2 xn+1=根号2+xn 证明极限xnn趋近于无穷存在并求出极限

证明：先用数学归纳法证xn<2
n=1时 X1=√2<2
假设n=k时有Xk<2
Xk+1=√(2+Xk)<√(2+2)<2
再证单调性。(Xn+1)^2 -(Xn)^2=2+Xn -(Xn)^2 =(2-Xn)(1+Xn)>0
所以 Xn+1 >Xn
综孙虚拍上可知，xn单调递增且有上界，故极限存在
设誉散极限为a 因为n→∞则羡时，lim Xn+1 =lim Xn =a
对Xn+1=√(2+Xn) 两边求极限
a=√(2+a) a=2 所以极限为2

（1）先证明存在极限
明显可雹缺以看出来Xn随n的增大 而增大 但是 Xn<2
证明如下
X1=根号2 <2
X2=根号（备码2+根号2）<2
假设Xn<2
则Xn+1=根号（2+xn）<根号(2+2)=2
对于所有的n成立
所以Xn<2 且随n增大而增大 则Xn的极限存在
（仿肆哪2） 极限存在 lim（Xn+1）=lim（根号2+Xn）
即 lim（Xn+1）的平方=2+lim Xn
limXn的平方=2+lim Xn
可求的limXn=2

用数学归纳法证xn<2
n=1时 X1=√2<2
假设n=k时有Xk<2
Xk+1=√猜绝(2+Xk)<√(2+2)<2
再证嫌兆冲单调性。(Xn+1)^2 -(Xn)^2=2+Xn -(Xn)^2 =(2-Xn)(1+Xn)>0
所以 Xn+1 >Xn
xn单调递增且有上界，故极限存在
设极限为a 因芹歼为n→∞时，lim Xn+1 =lim Xn =a
对Xn+1=√(2+Xn) 两边求极限
a=√(2+a) a=2 所以极限为2

可以证明所有的Xn都等于2。
反证。假设有不等于2的。找到那个使Xn不等于2的最小的n，这个最小的n 我们记为k。然后我们看Xk-1, 它是否等于2？
如果Xk-1等于2，那蔽扰弯么根据递推李迹公式,Xk=2, 矛盾。
如果Xk-1不等于2，那么k就不是使Xn不等于2的最小的那个n，亦矛盾。
所以我宏闷们现在证明了，所有的Xn都等于2. 那么显然极限存在且就是2.