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已知向量组a1,a2,a3, 线性无关, c1=a1+a2,c2=a2+a3.c3=a3+a1c，试证 c1,c2,c3线性无关

2024-12-01 09:24:04

推荐回答（2个）

回答1：

反证：若c1,c2,c3线性相关
即存在不全为零的实数m、n、t，使得mc1+nc2+tc3=0
则由题意得m(a1+a2)+n(a2+a3)+t(a3+a1)=0
整理得(m+t)a1+(m+n)a2+(n+t)a3=0
因为m、n、t不全为零，容易得到m+t、m+n、n+t三数不全为零
则由(m+t)a1+(m+n)a2+(n+t)a3=0
得到a1、a2、a3线性相关
矛盾！
所以c1,c2,c3线性无关

回答2：

解: 设 k1c1+k2c2+k3c3 = 0
把 c1,c2,c3 代入, 整理得:
(k1+k3)a1 + (k1+k2)a2 + (k2+k3)a3 =0
由a1,a2,a3, 线性无关, 所以有
k1+k3=0
k1+k2=0
k2+k3=0
因为此方程组的系数行列式不等于 0, 所以它只有零解.
即有 k1=k2=k3=0
所以 c1,c2,c3线性无关