可惜不等式的积分形式怎么证

设f(x),g(x)在区间[a,b]可积，a≤b

∵对任意t∈R，有(tf(x)-g(x))²≥0

=>∫[a,b](tf(x)-g(x))²dx≥0

=>t²∫[a,b]f²(x)dx-2t∫[a,b]f(x)g(x)dx+∫[a,b]g²(x)dx≥0

记A=∫[a,b]f²(x)dx，B=2∫[a,b]f(x)g(x)dx，C=∫[a,b]g²(x)dx

则上式变为At²-Bt+C≥0，对任意t∈R成立

∴该二次函数判别式△=B²-4AC≤0

即(∫[a,b]f(x)g(x)dx)²≤(∫[a,b]f²(x)dx)(∫[a,b]g²(x)dx)

注：这里若a>b，该积分不等式也成立，只需把a,b交换证明即可。

扩展资料

从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

你问的是柯西不等式的积分形式吧,叫做柯西-许瓦兹不等式,证明如下：

柯西不等式二维形式的简单证明过程，你看看会不会应用呢