230问答网 > 已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1

已知函数f（x）的定义域为R，且f（0）=2，对任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1

2024-11-29 09:07:03

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回答1：

令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故当x＞0时，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集为{x|x＞0}．
故选A．