高一数学(数列）

因为a^2 b^2 c^2成等差数列
所以 a^2+ab+ac+bc b^2+ab+ac+bc c^2+ab+ac+bc 成等差数列
从而 (a+b)(a+c) (a+b)(b+c) (b+c)(c+a) 成等差数列
因此 (a+b)(a+c)(b+c)/（b+c），(a+b)(a+c)(b+c)/（c+a）(a+b)(a+c)(b+c)/(a+b) 成等差数列
故 1/（b+c），1/（c+a）1/(a+b) 也成等差数列

要证明1/(b+c)，1/(c+a)，1/(a+b)成等差数列，即证明1/(b+c)+1/(a+b)=2/(c+a)。
因a^2,b^2,c^2成等差数列，则有：2b^2=a^2+c^2；
1/(b+c)+1/(a+b)=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+b^2+bc)
=(a+2b+c)/[ab+(a+c)^2/2+bc]
=2(a+2b+c)/[(a+c)^2+2b(a+c)]
=2(a+2b+c)/[(a+c)(a+2b+c)]
=2/(a+c)
得证。

注：b^2表示b平方。

证明：
因为:a^2,b^2,c^2成等差数列
所以:a^2+c^2=2b^2
1/(b+c）+1/(a+b)-2/(a+c)
=(a^2+ab+ac+bc+ab+c^2+bc+ac-2ab-2b^2-2ac-2bc)/(a+b)(b+c)(a+c)
=(a^2+c^2-2b^2)/(a+b)(b+c)(a+c)
=0
所以：1/(b+c），1/（c+a),1/(a+b)也成等差数列
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