230问答网 > 设A为n阶可逆矩阵,证明（A*）^（-1）=[A^（-1）]* 设A为n阶可逆矩阵，证明（A*)*

设A为n阶可逆矩阵,证明（A）^（-1）=[A^（-1）] 设A为n阶可逆矩阵，证明（A)

2024-11-22 06:30:22

推荐回答（2个）

回答1：

简单拍扰计裤斗算一下即可，详情胡贺磨如图所示

回答2：

（1）证明：若 A 可逆，根据“A的逆矩阵”与“A的伴随矩阵”关系式A^-1＝A*/│A│，
得伴随矩阵为 A* ＝│A│A^-1-------------------(a)
于是（A*）氏冲做^-1 ＝(│A│A^-1)^-1＝A/│A│---------------------(b)
类似的，套用伴随矩阵的公式(a)，可得A^-1 的伴随矩阵是
(A^-1)* ＝│A^-1│(A^-1)^-1＝(1/│A│判慧)·A＝A/│A│-----------(c)
由(b)(c)两式可知（A*）^-1＝(A^-1)*

（2）证明：因为AA*=|A|E，两边取行列式得|A||A*|=||A|E|，而||A|E|=|A|^n，所以歼衡|A*|=|A|^(n-1)-----------------------(d)
A可逆，则由(a)得，(A*)*=|A*|(A*)^-1，由(b)(d)得，(A*)*=|A|^(n-1)·(A/|A|)=|A|^(n-2)·A