证明:
因为a,b正定,
所以
a^t=a,b^t=b
(必要性)
因为ab正定,
所以
(ab)^t=ab
所以
ba=b^ta^t=(ab)^t=ab.
(充分性)
因为
ab=ba
所以
(ab)^t=b^ta^t=ba=ab
所以
ab
是对称矩阵.
由a,b正定,
存在可逆矩阵p,q使
a=p^tp,b=q^tq.
故
ab
=
p^tpq^tq
而
qabq^-1=qp^tpq^t
=
(pq)^t(pq)
正定,
且与ab相似
故
ab
正定.
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