线性代数里面那个特征值有哪些性质？比如和或者乘积。
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(一) 矩阵的特征值
定义5.1 设 为 阶矩阵， 是一个数，如果方程
（5.1）
存在非零解向量，则称 为 的一个特征值，相应非零解向量 称为与特征值 对应的特征向量.
将（5.1）式改写为
（5.2）
即 元齐次线性方程组
（5.3）
此方程组存在非零解的充分必要条件为系数行列式等于零，即
定义5.2 设 为 阶矩阵，含有未知量 的矩阵 称为 的特征矩阵，其行列式 为 的 次多项式，称为 的特征多项式， 称为 的特征方程.
是矩阵 的一个特征值，则一定是 的根，因此又称特征根.若 是 的 重根，则 称为 的 重特征值（根）.方程 的第一个非零解向量，都是相应于 的特征向量.
例1 求矩阵 的特征值与特征向量.
解：矩阵 的特征方程为
化简得
所以 是矩阵 的两个不同的特征值.
以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组（5.3），得
它的基础解系是 ，所以 是矩阵 对应于 的全部特征向量.
同样，以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得
它的基础解系是 ，所以 是矩阵 对应于特征值 的全部特征向量.
例2 求矩阵
的特征值和特征向量.
解：矩阵 的特征方程为
化简得 ，所以 是矩阵 的特征值，“1”是矩阵 的二重特征值.
以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得
它的基础解系是 ,所以 是矩阵 对应于 的全部特征向量.
以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得
它的基础解系是 ，所以 是矩阵 对应于二重特征值 的全部特征向量.
例3 求矩阵
的特征值与特征向量.
解：由
得特征值
当 有
它的基础解系是 ，所以对于 ，矩阵 的全部特征向量是
当 有
它的基础解系是向量 及 ，所以对于 ，矩阵 的全部特征向量是
不全为零）
例4 求 阶数值矩阵
的特征值与特征向量.
解：因为 ，因此， 的特征值为
把 代入（5.3）：
这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意 个线性无关的向量都是它的基础解系，取单位向量组 作为基础解系，于是 的全部特征向量为
不全为零）
(二) 特征值与特征向量的基本性质
定理5.1 阶矩阵 与它的转置矩阵 有相同的特征值.
证：由 有
得 与 有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.
定理5.2 设 是 阶矩阵，如果
（1）
或(2)
有一个成立，则矩阵 的所有特征值 的模 小于1，即
定理5.3 阶矩阵 互不相同的特征值 ，对应的特征向量 线性无关.
(三) 相似矩阵
定义5.3 设 、 为 阶矩阵，如果有 阶非奇异矩阵中存在，使得 成立，则称矩阵 与 相似，记为 .
例如，
则
所以， ,即 .
定理5.4 如果 阶矩阵 、 相似，则它们有相同的特征值.
证：因
得 、 有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
定理5.5 阶矩阵 与 阶对角矩阵 相似的充分必要条件为矩阵 有 个线性无关的特征向量.
推论 若 阶矩阵 有 个相异的特征值 ，则 与对角矩阵 相似.
注意： 有 个相异特征值只是 可化为对角矩阵的充分条件而不是必要条件.
定理5.6 阶矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征根 ，矩阵 的秩是 （证明略）.
课后作业：
1、求下列矩阵的特征值及特征向量：
2、设矩阵 非奇异，证明 .
(四) 关于约当形矩阵的概念
由定理5.6可知，并不是所有 阶矩阵都可与对角矩阵相似，但可以与一种极简单矩阵——约当形矩阵相似.下面将叙述有关约当形矩阵的要领和一些定理，但对于定理不加以证明.
定义5.4 在 阶矩阵 中，如果
即
称为约当块.
如果一个分块对角矩阵的所有子块都是约当块，即
中 都是约当块，则称 为约当形矩阵，或称约当标准形.
例如：
都是约当块.
都是约当形矩阵.
对角矩阵可看成每个约当块都为一阶的约当形矩阵.
定理5.7 任意一个 阶矩阵 ，都存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，即任意一个 阶矩阵 都与 阶约当矩阵 相似（证明略）.
例如，矩阵
有两个特证值 ，并仅有两个线性无关特征向量
所以它不与对角矩阵相似，但它与约当形矩阵
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