线性代数中有关矩阵的几个问题...

楼上已经从定义角度完整的回答了楼主的问题，那么我尝试从几何方面加以补充完善，以其能更好的理解。
1、所谓矩阵的最高阶非零子式，事实上是一种抽象化的表达方法，矩阵本身就是一个高度抽象的数学对象，它可以代表方程组；亦可以代表向量组；更可以作为基变换/坐标变换的过渡手段。最高阶非零子式的阶数即矩阵的秩，它是一个确定的数字，肯定不会是无穷大，所以可以利用它来掌握一个无穷阶的矩阵/向量组。所谓矩阵的秩，就是描述这个矩阵所代表线性空间所需要的最少向量个数。
2、矩阵等价，根据矩阵描述对象的不同，也会体现出极为不同的意义。从方程角度着手，两矩阵等价代表两个矩阵所描述的两个方程组拥有相同的线性关系，它们同时线性相关/线性独立。（因为矩阵等价就已经隐含了两矩阵同形这个假设）；而从向量空间角度着手，两矩阵行等价代表向量组行向量组等价，矩阵列等价代表列向量组等价，若矩阵的初等变换中同时使用了列变换和行变换，那么向量组之间没有等价关系可言。
3、这是行不通的，矩阵的相乘有重要的几何意义。矩阵可作为坐标变换/基变换的描述手段，初等变换只保证矩阵的秩不变，但不能保证矩阵所描述的向量组不改变。矩阵的乘法是只能针对一组给定的向量组进行的，初等变换保证秩相等，这充其量只说明了描述向量空间所需向量的个数是确定的，并不能保证向量跟原矩阵所描述的向量组完全等同。

1、在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，其中的r为矩阵的秩、
2、如果矩阵经过有限次初等行变换变成另一个矩阵则两个矩阵行等价。列等价同理。就是说矩阵经过有限次初等变换变成另一个矩阵则称两个矩阵等价。
两矩阵等价则两矩阵的秩相等
3、矩阵等价与矩阵相等是两个不同的概念，一个矩阵可以经过初等变换变成单位阵，但两个矩阵就不相等。所以矩阵的初等变换不能用在矩阵的运算上的。 其实可以自己举一些简单的例子来验证自己的问题的，有时候很容易帮助对一些概念和定理的记忆和理解。