已知a,b为正实数且ab=1,若不等式(x+y)(ax+by)>M对任意正实数x,y恒成立,则实数M的取值范围是( 

2024-12-30 17:06:45
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回答1:

∵a,b,x,y均为正实数,且ab=1,
∴(x+y)(

a
x
+
b
y
)=a+b+
ay
x
+
bx
y

≥a+b+2
ay
x
?
bx
y
=a+b+2
=a+
1
a
+2≥2
a?
1
a
+2=4
当且仅当a=b=1,x=y时取等号,
∴(x+y)(
a
x
+
b
y
)的最小值为4,
∵不等式(x+y)(
a
x
+
b
y
)>M对任意正实数x,y恒成立,
∴M<4
故选:D