矩阵的谱半径小于等于矩阵的什么范数

2024-11-24 18:12:34

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回答1：

你的p-范数定义错了，矩阵的p-范数是向量p-范数的诱导范数，即
║a║p
=
max{║ax║p:║x║p=1}=
max{║ax║p/║x║p:
x≠0}。
如果你想做数值例子的话，我可以告诉你，实际计算的时候p-范数是很难算的，通常需要用搜索的办法来求解这个最优化问题，我记得nick
higham有一个matlab程序可以算。
补充：
你用的定义相当于是向量范数，作为矩阵范数不是相容范数，所以和谱半径没有必然联系。

回答2：

证明：
记λ为矩阵A的模最大特征值（谱半径），x为其对应的右特征向量，那么：
x'A'
×
Ax
=
|λ|²
×
x'x
=>
|λ|
=
||Ax||₂/
||x||₂<=
||A||₂即矩阵的模最大特征值（谱半径）小于等于矩阵的2范数，再由矩阵范数的等价性命题知，矩阵谱半径不是矩阵范数，证毕！