虽然说你们当初的结婚证已经丢了。但是并不影响你们办理离婚手续的。
因为你们两个人现在已经结婚10多年了，而且我们现在已经分居了10多年了，所以是符合离婚的条件。
虽然说你现在手里没有结婚证，但是在你们当地的民政局是有你们两个人的个人资料的，你是可以去那里补办一个结婚证的，大约成本是10块钱左右。
然后你就可以去当地的法院单方面起诉离婚，因为两个人分居的时间太久了，所以像这种诉讼对方是可以接受而且也会判决的。
但是第1次起诉的时候他们只会给你们进行协调，如果协调不成功的话，那么他才会同意你们两个人离婚。
好，关于你的这种情况，两人在一起10多年以前的结婚证丢了，现在要离婚的话必须要去补办结婚证，然后才可以去民政局办理协议离婚，就算是去法院也需要有补的结婚证才可以办理离婚的，否则无法证明你们的婚姻关系。
结婚证丢了你可以去你当初办领结婚证的单位去查一下一般都留有你们办证的信息再补办一个就可以离婚了我觉得是这样的
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