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计算∫∫x^2 y^2ds,其中∑是锥面z^2=3(x^2 y^2)

2024-12-23 00:09:48

推荐回答（1个）

回答1：

你好！答案如图所示：
问题欠缺完整，补上一个类似的例子
∫∫(x^2+y^2)dS 其中S是锥面z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截的部分
因为锥面得,Z=√(3x²+3y²)
由于(Z'x)²=3x²/(x²+y²),(Z'y)²=3y²/(x²+y²),
所以√(1+(Z'x)²+(Z'y)²)=√(1+3)=2
故∫∫(x^2+y^2)dS
=2∫∫(x^2+y^2)dxdy
（由于z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得：9=3(x^2+y^2),即x²+y²=3,
故积分投影区域为：x²+y²≤3）
转化为极坐标,得
=2∫∫ r^2 *rdrdθ
=2∫(0,2π) dθ∫(0,√3) r³ dr
=4π*(1/4)r^4 |(0,√3)
=9π
故∫∫(x^2+y^2)dS =9π

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