行列式等于零，向量组就线性相关，为什么？是哪个定理吗？

2024-11-27 04:18:06

推荐回答（5个）

回答1：

原因：线性相关就是各行或列能互相线性表示，能进行初等变换，把某一行或列变换到另一行或列，最后有一行会全为0，计算时行列式就等于0。所以行列式等于0就是线性相关。

相反的，线性无关它的行列式不等于0，说明是满秩，没有一行或一列全为0。

没有具体的定理。

在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

扩展资料：

例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为，它的展开式为ad-bc。

九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。

如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

回答2：

相反的，线性无关它的行列式不等于0，说明是满秩，没有一行或一列全为0。

没有具体的定理。

在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。

扩展资料：

向量a1，a2， ···，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

参考资料来源：百度百科——线性相关

参考资料来源：百度百科——行列式

回答3：

行列式等于零时，表示矩阵的行（或列）线性相关，这是基于行列式和线性代数中的一个定理，称为克拉默定理（Cramer's Rule）。
根据克拉默定理，对于一个 n × n 的矩阵 A，如果行列式 |A| = 0，则矩阵 A 的行（或列）向量线性相关。也就是说，存在一个非零向量 c，使得 A * c = 0，其中 * 表示矩阵的乘法运算。
这个定理的直观解释是，行列式等于零意味着矩阵 A 不满秩，即矩阵的行（或列）向量不能够构成一个线性无关的向量组。存在一个非零的线性组合使得它们的和等于零。
因此，当行列式等于零时，可以确定该矩阵的行（或列）向量组是线性相关的，即存在一个非零的线性组合使得它们的和等于零。这是线性代数中的一个重要结论，对于矩阵和向量的分析和求解具有重要意义。

回答4：

是有这样的定理，
简单的证明一下
设向量组
A=(α1，α2，…，αn)
∵|A|=0
∴齐次线性方程组Ax=0有非零解
【这是根据大名鼎鼎的克莱姆法则】
假设解为
x=(x1，x2，…，xn)^T
∴存在不全为0的实数x1，x2，…，xn
使得，
x1α1+x2α2…+xnαn=0
∴向量组A=(α1，α2，…，αn)线性相关。

回答5：

原因：线性相关就是各行或列能互相线性表示，能进行初等变换，把某一行或列变换到另一行或列，最后有一行会全为0，计算时行列式就等于0。所以行列式等于0就是线性相关。

相反的，线性无关它的行列式不等于0，说明是满秩，没有一行或一列全为0。

没有具体的定理。

在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。