230问答网 > 设连续型随机变量X的概率密度函数为为f(x)=1⼀2*e^(-|x|),-∞<x<+∞

设连续型随机变量X的概率密度函数为为f(x)=1⼀2*e^(-|x|),-∞<x<+∞

问x与|x|是否相互独立？为什么？

2024-12-16 13:25:48

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回答1：

http://zhidao.baidu.com/question/873226098652720852

(1) f(x)是偶函数, 则, xf(x)是奇函数. 所以 E{X} = ∫[-∞,∞] xf(x)dx = 0
x(|x|)f(x)也是奇函数.
X与|X|的协方差 = E{X(|X|)}-E{X}E(|X|) = E{X(|X|)}-(0)E{|X|}
=∫[-∞,∞] x(|x|)f(x)dx = 0
X与|x|不相关.
(2) 但X与|X|不独立.一个例子就够. 当 X=1是, |X|一定也等于1.

回答2：

E(x)=∫(-∞,+∞)xf(x)dx=0
D(x)=E(x^2)-(E(x))^2=E(x^2)=∫(-∞,+∞)x^2f(x)dx=2∫(0,+∞)x^2f(x)dx
=∫(0,+∞)x^2e^(-x)dx=-x^2e^(-x)︱(0,+∞)-2∫(0,+∞)xe^(-x)dx=2∫(0,+∞)e^(-x)dx
=2
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