230问答网 > 无限特殊数列求和通项 tn=[(xlna)^n]⼀n! . 我想了很久了，结果得出了个求积的方法。。有人给我点提示不。

无限特殊数列求和通项 tn=[(xlna)^n]⼀n! . 我想了很久了，结果得出了个求积的方法。。有人给我点提示不。

2024-11-28 18:18:41

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回答1：

答：
这要用到高等数学里的知识：泰勒展开式。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+...+f(n阶导数)(0)x^n/n!+...
例如e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
楼主您题目这里这个形式显然就是这种求和形式，如果您没接触过的话那是肯定不会的。
Sn=t1+t2+...+tn
=xlna/1!+(lna)^2*x^2/2!+...+(lna)^n*x^n/n!
观察得a^x的泰勒展开式形式与其相似，令f(x)=a^x
f'(x)=lna*a^x,f''(x)=(lna)^2*a^x,...,f(x)的n阶导数=(lna)^n*a^x.
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+...+f(n阶导数)(0)x^n/n!+...
=1+lna*x/1!+(lna)^2*x^2/2!+...+(lna)^n*x^n/n!+...
=1+t1+t2+...+tn
=1+Sn
所以Sn=f(x)-1=a^x-1
a^x-1就是这个数列的和。

无限特殊数列求和 通项 tn=[(xlna)^n]⼀n! . 我想了很久了，结果得出了个求积的方法。。有人给我点提示不。

无限特殊数列求和通项 tn=[(xlna)^n]⼀n! . 我想了很久了，结果得出了个求积的方法。。有人给我点提示不。