求湖南科技大学历年线性代数B期末考试试题及答案

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一. 单项选择题（本大题共4小题，每小题2分，总计 8 分 ）

1、设表示排列的逆序数，则=( )

(A) 0, (B) 2, (C) －2, (D) 1

2、设是5阶的可逆方阵，是的伴随矩阵，则有( )

(A) (B) (C) (D)

3、设 则( ).

(A) 1, (B) －1, (C) 7, (D) －7

4、设，， 则向量组( )。

(A) 其秩为, (B) 线性无关, (C) 其秩为, (D) 其秩为

5、设，是给单位矩阵第2行（列）乘以3所得的3阶初等方阵,则等于（ ）

(A) (B) (C) (D)

6、设矩阵，，则向量的长度等于

(A) 3, (B) , (C) 14, (D)

7、设是由向量，，生成的向量空间，则的维数等于( )

(A) 3, (B) 4, (C) 1, (D) 2

8、已知向量组U线性相关，则在这个向量组中( )

(A) 必有一个零向量。 (B) 至少有一个向量可经由其余向量线性表出。

(C). 必有两个向量成比例。 (D) 所有向量都可以经由其余向量线性表出.

二. 填空（本大题共 2 小题，每小题5分，总计 10 分 ）

1、设向量组线性无关，而都能由向量组线性表出，则向量组的秩为______。

2、已知向量,,,若用的线性组合来表示, 即, 则分别为：______、______、______。

3、设,,, 如果向量组与向量组等价，则向量组的秩等于________。

4、设矩阵,,,, 则的秩等于_________。

三. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）

设，求

四. 解答下列各题 （本大题 12 分 ）

1、 计算行列式 的值。

2、计算行列式 的值。

五. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）

1、设, 求.

2、解线性代数方程组。

。

3、解矩阵方程

4、 ;

5、 .

解 （1）

故逆矩阵为

(2)

故逆矩阵为

六. 解答下列各题 （本大题 10 分 ）

1、设，求的秩。

2、设,,，求向量组的秩。

3、利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

(1) ; (2) .

解 (1)

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

(2)

，

所以第1、2、3列构成一个最大无关组．

4．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:

(1) ,,;

(2) ,,.

解 (1) 线性相关.

由

秩为2,一组最大线性无关组为.

(2)

秩为2,最大线性无关组为.

七. 求线性代数方程组的通解 （本大题 16 分 ）

1、

2、

3、

4、

解：(1) 对系数矩阵实施行变换:

即得

故方程组的解为

(2) 对系数矩阵实施行变换:

即得

故方程组的解为

(3) 对系数矩阵实施行变换:

即得

(4) 对系数矩阵实施行变换:

即得 故方程组的解为

5、

6、

7、

8、

解：(1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有

而,故方程组无解．

(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得亦即

(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得 即

(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得 即

9、取何值时,非齐次线性方程组

(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?

解 (1) ,即时方程组有唯一解.

(2)

由

得时,方程组无解.

(3) ,由,

得时,方程组有无穷多个解.

10．非齐次线性方程组

当取何值时有解？并求出它的解．

解

方程组有解，须得

当时,方程组解为

当时,方程组解为

11．设

问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解

时求解．

解

当,即 且时，有唯一解.

当且，即时，无解.

当且，即时，有无穷多解.

此时，增广矩阵为

原方程组的解为 ()

八. 解答下列各题 （本大题 12 分 ）

1、求下列矩阵的特征值及其特征向量

解：①

故的特征值为．

② 当时，解方程，由

得基础解系

故是对应于的全部特征值向量.

当时,解方程，由

得基础解系

故是对应于的全部特征值向量

当时，解方程，由

得基础解系

故是对应于的全部特征值向量．

2、求下列矩阵的特征值及其特征向量

解：

故得特征值为．

当时，由

解得

单位特征向量可取:

当时,由

解得

单位特征向量可取:

当时,由

解得．

单位特征向量可取:

得正交阵

九．（本大题 10 分 ）设3阶对称矩阵的特征值为6，3，3，且已知与特征值6对应的特征向量为,求.

解 设

由，知 ①

3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，

故利用①可推出

秩为1.

则存在实的使得②成立．

由①②解得．

得．

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答案：
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线性代数B试卷标准答案

试卷号：0602A

学校：湖南科技大学 院系：

专业： 年级： 班级：

一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）

CCB

二. 填空（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10 分 ）

1、1

2、0, -1

三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

8

四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

Dn=2Dn-1-Dn-2 4

Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=¼=D2-D1=3-2=1 2

Dn=Dn-1+1=¼=D1+n-1=2+n-1=n+1 2

五. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

令 5

B16=E, C16=E. 10

16

六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

因为 , 10

故a1, a2, a3线性无关， 13

该向量组的秩为 3. 16

七. 解答下列各题 （本大题16 分 ）

10

16

八. 解答下列各题 （本大题 17 分 ）

因A~B, 故A的特征值为l1=1, l2=l3=3. 5

|A-lE|=(3-l)2(1-l)+2ab+(l-2)(a2+b2)

当l1=1时, 2ab-(a2+b2)=(a-b)2=0 , 故a=b ¼(1) 10

当l2=l3=3 时, 2ab+(a2+b2)=(a+b)2=0,故a=-b ¼(2) 15

由 (1),(2) 得a=b=0 17

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线性代数B试卷标准答案

试卷号：0602B

学校：湖南科技大学 院系：

专业： 年级： 班级：

一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）

ACC

二. 填空（本大题共 3 小题，每小题 4分，总计 12 分 ）

1、2n-1(a+b)

2、 .

3、a1+a2+a3+a4=0

三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

4

8

四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

4

8

五. 解答下列各题 （本大题 15 分 ）

因, 故, 线 性 无 关 , 10

向量组本身是其极大线性无关组. 15

六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

10

16

七. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

|A|=12¹0, 所以A可逆. 6

16

八. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

A的三个特征值为-1, 2, y. 4

则-1+2+y=-2+x+1得y=x-2. 8

又由 12

得y=-2 ,所以x=0. 16

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线性代数B试卷标准答案

试卷号：0602A

学校：湖南科技大学潇湘学院 院系：

专业： 年级： 班级：

一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）

CCB

二. 填空（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10 分 ）

1、1

2、0, -1

三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

8

=-8

四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

Dn=2Dn-1-Dn-2 4

Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=¼=D2-D1=3-2=1 2

Dn=Dn-1+1=¼=D1+n-1=2+n-1=n+1 2

五. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

令 5

B16=E, C16=E. 10

16

六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

因为 , 10

故a1, a2, a3线性无关， 13

该向量组的秩为 3. 16

七. 解答下列各题 （本大题16 分 ）

10

16

八. 解答下列各题 （本大题 17 分 ）

因A~B, 故A的特征值为l1=1, l2=l3=3. 5

|A-lE|=(3-l)2(1-l)+2ab+(l-2)(a2+b2)

当l1=1时, 2ab-(a2+b2)=(a-b)2=0 , 故a=b ¼(1) 10

当l2=l3=3 时, 2ab+(a2+b2)=(a+b)2=0,故a=-b ¼(2) 15

由 (1),(2) 得a=b=0 17

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线性代数B试卷标准答案

试卷号：0602B

学校：湖南科技大学潇湘学院 院系：

专业： 年级： 班级：

一. 单项选择题（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分 ）

ACC

二. 填空（本大题共 3 小题，每小题 4分，总计 12 分 ）

1、2n-1(a+b)

2、 .

3、a1+a2+a3+a4=0

三. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

4

8

四. 解答下列各题 （本大题 8 分 ）

4

8

五. 解答下列各题 （本大题 15 分 ）

因, 故, 线 性 无 关 , 10

向量组本身是其极大线性无关组. 15

六. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

10

16

七. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

|A|=12¹0, 所以A可逆. 6

16

八. 解答下列各题 （本大题 16 分 ）

A的三个特征值为-1, 2, y. 4

则-1+2+y=-2+x+1得y=x-2. 8

又由 12

得y=-2 ,所以x=0. 16

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虽然有的题目比较费时间，但是也只能 这样来提高自己的学习水平，多和老师交流，在网上是问不到答案的哈
老师是很乐意学生去问问题的，问多了 老师也会给很多学习上的建议