证明：（I）方法1：设G是AB的中点，连接DG，
∵D为B1A的中点，
∴DG∥EC，且DG=
EC，1 2
又∵E为C1C的中点，
∴四边形DECG是平行四边形，
∴DE∥GC，
又∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
方法2：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP．
由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，
∵D、E是A1B、A1P的中点，
∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，
又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，
∵AB=AA1=2，
∴B1F=
，EF=
6
，B1E=3，
3
∴B1F2+EF2=B1E2，
∴B1F⊥FE，
∵AF∩FE=F，
∴B1F⊥平面AEF
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，
∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM=
，
10
5
在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，
∴cos∠B1MF=
，
6
6
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
．
6
6
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