物理系统的量子力学系统

询问一个物理实体的话，第一个问题可能就是“它在哪里？”根据日常经验，我们可以很精确的回答这个问题，只是要受测量仪器质量的限制。在极小物体的这个范围，有某些基本的限制，必须用量子力学来回答那个问题。
从核心上说量子力学涉及能量。由于质量和能量的等价性（想一想爱因斯坦的著名公式，其中c是光速米/秒），量子力学还涉及有质量的粒子。由于光子能量和其频率之间的关系（E=hv，其中h是普朗克常数，焦－秒），量子力学还涉及到光子。
根据量子力学，“它在哪儿”这个问题不能确定地回答。那我们如何处理这个不确定性呢？用分配概率的方法。由于空间的连续性质和其范围上的无限性，这有一点复杂，但对于事件的无限集合来说处理思想是一样的。概率密度非负，它对全体空间的积分为1（这就像所有互斥且完备的事件的概率之和等于1）。
所以在量子力学里，一个物体用随时间演变的一个“概率点”来表示。它怎么演变呢？基本的方程不是根据概率密度写出的，而是根据空间和时间的另一个函数写出的，由它可以求出概率密度。
考虑一下概率密度的平方根，把它看作是空间和时间的一个函数。这样为了增加一些一般性，令平方根可正可负—将其平方就得到概率密度，每个人都会。下一步，为了更大的一般性，使这个平方根在复平面内有任意的相角，这样它就有了实部和虚部。我们不再叫它平方根，而是“波函数”，它使空间r和时间t的一个函数。概率密度就是波函数绝对值的平方),(trΨ ),(),(),(2trtrtrΨΨ=Ψ? （11.1）
其中星号?表示复数共扼。
前面涉及概率时，我们从没有根据什么初等概念表示它们。现在为什么需要这样做呢？因为量子力学的基本方程涉及。为什么？别这么问。这只是量子力学众多怪异性质中的一个。),
量子力学的基本方程是薛定谔方程，它由奥地利物理学家(1887-1961)发现。ErwindingeroSchr&&1 ),()(),(2),(222trrVtrmttriΨ+Ψ??=?Ψ?ηη （11.2）
其中i是（虚数的）-1平方根，m是物体质量，是势能函数，它的空间梯度是作用在物体上的力的复数，)(rV3410054.12?×==πhη焦－秒。要注意这个方程包含着空间和时间的偏微分。对时间的微分是第一阶，对空间的微分是第二阶。拉普拉斯算子定义为2? x^2?fy?+y^2?fz?+z^2?fx?=? （11.3）
其中x，y和z是三个空间维度。
这个方程一般通过把它乘以再对空间积分来解释。然后左侧视为全部能量，右侧视为动能和势能之和（假设波函数被规范化，这样),(tr?Ψ2),(trΨ的空间积分为1，这是根据概率密度解释这个方程所需的一条性质）。
这个方程令人迷惑地简单。它是),(trΨ的线性方程，就是说如果1和2是解，那么它们任意一个线性组合也是解2211Ψ+Ψ=Ψααtotal （11.4）
其中1α和2α是复常数（如果这个线性组合得到是一个有效的概率分布，那么1α和2α的值必须是使2),(trΨ的空间积分为1的那样的值）。然而，除了最简单的情况以外，这个方程不能以闭合形式解得。)(rV
严格地说，该方程只有在物体在整个宇宙中讨论时才真的正确，这种情况下因为太复杂方程就没有用了。但是，它通常用做近似情况，这时把宇宙看作两部分——正计算其波函数的一个小的部分（该物体）和剩余的宇宙（“外界环境”），它对物体的影响被假定用表示。注意这个物体可能是一个单个的光子、一个电子或两个以上的例子，即它不必符合单个粒子的正规概念。)(rV
一个物体会与它的外界环境互相影响。很自然地，如果一个物体改变了它的环境（如果要测量物体的某个属性时就会发生），那么环境就会改变这个物体。量子力学的一个很有趣的结论是测量了一个物体某个属性后，它通常会有一个不同的波函数，结果就不能确定物体以前的某些属性。 尽管对于一个给定的，薛定谔方程可能不能用闭合形式解出，但是不知道解的细节仍可以说出解的很多性质。考虑一些特定形式的解，一个空间函数与另一个时间函数的乘积。从薛定谔方程很容易表明对于某个实数E（实数是因为否则（r，t）就会在非常大的或小的时间内无限地变化）这种波函数能有的最一般的形式为)(rV
（11.5） η/)(),(iEtertr?=Ψφ
其中)(rφ符合方程（不包括时间） )()()(2)(22rrVrmrEφφφ+??=η （11.6）
对任意值E不能得到)(rφ的非零解。可能在E的某个范围内可以，只含有特别离散值E的其他范围会得到非零波函数。一般地说，对应于离散值E的这些解会变得非常小（即它们“在无穷远处消失”），因此尽管它们有多于一个的“概率点”，它们还是会在空间中停下来。
这些解被称为“静止状态”，因为波函数的量（所以概率密度也是如此）不能随时间而变化；它只是空间的函数。
对静止状态，E有一个很有趣的解释。如果我们用乘以这个方程，再对空间积分，可以看到（就像上一节中的一样）E是右面两项的和，即物体的动能和势能。所以E是和那个解相关的全部能量。)(r?φ
有这样势能的薛定谔方程的大多数解都没有这种形式。但是不要忘了薛定谔方程的解的任意一个线性组合仍是一个解。我们可以把这些静止状态当作积木生成更一般的解。)(rV
我们对停在空间中一点的静止状态非常感兴趣，所以尽管可能有很多（甚至是一个可数的无限值），但E的允许值是离散的。如果我们令j为静止状态的一个索引，那么就可能定义结果波函数使得它们都被规范化和“正交化”，前者就是说每个波函数绝对值的平方对空间的积分是1，后者就是说当在全部空间积分时，任何一个波函数和其他波函数复数共扼乘积为0。我们就可以用表示E的值，把它解释为与那个状态相联系的能量。),(trjΨje
这样薛定谔方程的一般解就写作静止状态的线性组合Σ?=Ψjiejtjjertrη/)(),(φα （11.7）
其中jα是扩展系数，可能是复数。如果波函数),(trΨ被正交化，则很容易表示为
Σ=jj21α （11.8）
与该函数相关的能量可以用写作je 2Σjjjeα （11.9）
从这些关系式我们可以观察出2jα的性质类似一个事件的概率分布，这些事件有被占用的各个状态组成，这个概率分布可用于计算与物体相关的平均能量。
我们对量子力学简单的学习得出的结论可以证明下一节中给出的多状态模型。那些想不通过任何解释就接受这个模型的读者跳过了前面两节，现在重新和我们走到了一起。 我们用前两节对量子力学的简单讨论证明了一个物理实体的模型，模型如下。物体有一个波函数，它原则上对时间描述物体的行为。这个波函数可能很难或不可能计算，当物体与外界环境互相影响时，它可能会以某种无法预测的方式改变。Ψ
物体有有限多个（或者可数的无限值）更容易计算的“静止状态”（尽管对复杂物体，仍不可能求出它们）。每个静止状态都有自己的波函数jΨ，其中j时静止状态的索引。如果物体实际的波函数是这些静止状态（即，如果这个状态被“占用”）中的一个，那么物体很明确地处在那个状态（或者直到它与其外界环境互相影响）。每个静止状态都有自己的能量，可能还有感兴趣的其他物理量的值。je
该物体的波函数可以表示为静止状态的一个线性组合，形式为ΣΨ=Ψjjjα （11.10）
其中jα是复数，称为扩展系数。如果物体处于一个静止状态，则除了一个以外，所有的jα为0。不失一般性扩展系数可以这样定义：它们绝对值的平方的和为1： Σ=jj21α （11.11）
对物体性质的测量（比如能量）涉及到和物体外界环境的相互影响，还有环境的变化（如果这正是记录结果的理由）。量子力学的结果是如果物体处于一个静止状态，测量它的能量，那么测量结果是简单的那个状态的能量，状态不会改变（即扩展系数不会因为测量而改变，除了一个以外所有的扩展系数为0）。从另一方面讲，如果物体不处于静止状态，那么测量结果是一个静止状态的能量，物体马上会假定那个就是静止状态。这样在每次测量后，物体就会处于一个静止状态。哪个状态？状态j的概率是被选择的是2jα的那个。这样实验测量能量的期望值是Σjjje2α
其中是与静止状态j相关的能量。因此量子力学中的测量就不像是日常物体的测量，日常测量中假设能量或其他物理性质不能以任意精度测量，这样的测量不会摄动该物体。量子测量的这个性质是量子力学诸多性质中的一个，尽管它可能不符合日常生活中的直觉，但必须要接收它。