如何用单调有界定理证明确界定理

证明：已知实数集A非空。存在a属于A,不妨设a不是A的上界，另外，知存在b是A的上界，记a1=
a，b1=b
，用a1
，b1
的中点(a1+b1)/2
二等分[a1
，b1
]，如果(a1+b1)/2属于B
，则取a2
=a1
，b2
=(a1+b1)/2
；如果(a1+b1)/2属于A
，则取a2
=（a1+b1)/2
，b2
=b1
；……如此继续下去，便得两串数列
。其中{an}属于A
单调上升有上界（例如b1
），{bn}
单调下降有下界（例如a1
）并且bn
-an=
(b1-a1)/2
(n-->无穷）
。由单调有界定理，知存在
r，使liman
=
r
(n-->无穷）。由
lim（bn-an
）=0
有
liman+（bn-an
）=
r
(n-->无穷）
因为{bn}是A的上界，所以对任意x属于A
，有x<=bn
（n=1，2，……），
令n-->无穷
，x<=lim(n-->无穷）bn
=
r
所以
r是A的上界。
而
任意c>0由lim(n-->无穷）an
=
r知任意c>0知存在N，当n>N
有r-c从而
存在X属于A
，使r-c所以
r=supA。
同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完

单调有界定理可以证明数列收敛有极限，又因为数列的极限唯一性，那么极限就是数列的确界