解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，
所以a＜3，故a=1或者a=2．
（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，
即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．
（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，
所以（b-2）（c-2）=4，
又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，
于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，
所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．
解法二：∵ab+bc+ca=abc，
∴
+1 a
+1 b
＝1，1 c
∵a＜b＜c，
∴
＞1 a
＞1 b
，1 c
所以
＞1 a
，1＜a＜3，a＝2．1 3
∴
+1 b
＝1 c
，1 2
所以
＞1 b
，2＜b＜4，b＝3．1 4
由上得，c=6，
所以，唯一解：a=2，b=3，c=6．
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