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设A是n阶方阵，A≠0.，则存在一个非零矩阵B，使得AB＝0的充要条件是│A│＝0

2024-11-23 13:33:48

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回答1：

如果 |A| = 0, 所以 0 为A的特征根。所以存在 n*1 向量 x≠0使得 Ax = 0, 让岁闷B = (x, x,...,x),即n个x构成的n*n 阵。则 AB = 0, 且 B≠0。

如果存在一个非零矩阵B，使得敬虚AB＝0，设 B=（乎稿弯x1,...,xn）,其中 xi 都为列向量。AB=0 ==> Axi = 0. 因为 B≠0，必有一个 xi≠0. 所以 0 为A的特征根。所以 |A| = 0.

回答2：

必要性：对AB=0两尘宴边取行列式，即│AB│=│A││B│=0，
因B为非零矩阵，故│B│不等于零，
所以，差兄罩│A│=0
充分性：假设AB=C，对AB=C两边取行列式，即│AB│=│A││B│=│C│，
因为│A│=0，故│C│=0，即│AB│=│A││B│=0，所以存在非零矩阵B，使得虚闹AB=0

回答3：

│B│≠0