230问答网 > 已知点A(-1,0)B(1,0)及圆C(x-3)∧2+(Y-4)∧2=4上的一点P,求AP∧2+BP∧2的最小值及取到最小值时点P的坐标

已知点A(-1,0)B(1,0)及圆C(x-3)∧2+(Y-4)∧2=4上的一点P,求AP∧2+BP∧2的最小值及取到最小值时点P的坐标

2024-12-16 16:29:45

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回答1：

方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法，向量法，余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，由上面的结论可得，|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2，其中o为坐标原点。故，要想所求平方和最小，只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20

方法二:设P点坐标为（x，y），则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小，只需PO最小，显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20