应该给，姓名是否更改不能改变血缘关系，和抚养义务。
一、根据《中华人民共和国户口登记条例》第十八条和公安部三局关于执行户口登记条例的初步意见第九条的规定，公民申请更改姓名按如下规定办理： 未满十八周岁的公民，要求变更姓名的，由本人或监护人写出书面申请，在校学生由学校出具证明，离婚子女申请更名的，须经父母双方同意；经派出所所长批准后，给予变更。
二、抚养费问题应该在离婚协议中就有约定，如果没有，那就另行约定，抚养义务是法定的。
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