230问答网 > 已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

2024-11-29 21:06:43

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回答1：

（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得 f(x)=

f(-x)

＞0 …（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x₁ ，x₂ ∈R，且x₁ ＜x₂ ，
则x₁ -x₂ ＜0，∴0＜f（x₁ -x₂ ）＜1…（10分）
∴f（x₁ ）=f[（x₁ -x₂ ）+x₂ ]=f（x₁ -x₂ ）f（x₂ ）＜f（x₂ ）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）