高数大神回答! 请问收 敛函数一定有界 但是有界的定义是指有上下界，那为什么指数函数还是收敛的？

答：
1、你对有界的定义没有充分理解：
定义1：若∃M>0，使得对于∀x∈D，D是该函数的定义域，使得：|f(x)|≤M成立，则f(x)在D上有界。
定义2：若∃M，使得对于∀x∈D，D是该函数的定义域，使得：f(x)≥M成立，则f(x)在D上有下界。
定义3：若∃M，使得对于∀x∈D，D是该函数的定义域，使得：f(x)≤M成立，则f(x)在D上有上界。
2、证明指数函数有界

例如：y=a^x，其中0∵lim(x→+∞) a^x = 0
∴∀ε>0，∃X>0，当x>X时，|y|<ε成立
取M=ε，显然，指数函数是有界的！
3、
从上可以看出：
1）有界=》有上界或有下界，|f(x)|≤M=》f(x)≤M或f(x)≥-M
2）有界=》有上界且有下界，|f(x)|≤M=》-M≤f(x)≤M
3）有上界=》有界，f(x)≤M，在f(x),M>0时，必有：|f(x)|≤M
4）有下界=》有界，f(x)≥M，在f(x),M<0时，必有：|f(x)|≤M
5） 有上界且有下界=》有界，-M≤f(x)≤M =》|f(x)|≤M
6）有界《=》有上界且有下界！
也就是说，|f(x)|≤M包含了很多情况，而你只是理解了6）种！
因此，关于有界的情况，还要结合f(x)的值域，定义域，M的情况具体而言，切不可笼统的只认为只有6）成立！