线性代数第二版王希云课后答案详解

秩就是4

A=

1 0 0 0

1 2 0 -1

3 -1 0 4

1 4 5 1 第2行减去第1行，第3行减去第1行×3，第4行减去第1行

～

1 0 0 0

0 2 0 -1

0 -1 0 4

0 4 5 1 第2行加上第3行×2，第4行加上第3行×4，第3行乘以-1，交换第2和第3行

～

1 0 0 0

0 1 0 -4

0 0 0 7

0 0 5 17 第3行除以7，交换第3和第4行

～

1 0 0 0

0 1 0 -4

0 0 5 17

0 0 0 1

很显然矩阵是满秩的，秩就是4

在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

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线性代数王希云

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。