已知（1+2x）n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大．（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项

2025-01-24 05:23:51

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回答1：

（1）∵第六项、第七项二项式系数最大
∴c_n⁵=C_n⁶且最大
∴n=11 （4分）
（2）设（1+2x）¹¹展开式中系数最大的项第r+1项T_r+1=2^r?C₁₁^r?x^r，令t_r+1=2^r?C₁₁^r
则

2r≥

2r?1

2r≥

2r+1

，
则7≤r≤8
∵r∈N^*∴r=7或r=8
r=7时，T₈=C₁₁⁷?2⁷?x⁷=42240x⁷
r=8时，T₉=C₁₁⁸?2⁸?x⁸=42240x⁸
即展开式中系数最大的项有两项，即第八项42240 x⁷与第九项42240 x⁸（8分）