230问答网 > 已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II

已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II

2024-11-27 15:14:51

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回答1：

（I）当b=2时，f（x）=lnx-

ax2-2x（x＞0），则f′(x)＝?

ax2+2x?1

因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，若ax²+2x-1＞0总有x＞0的解；
则需△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）
（II）设点A，B的坐标分别是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则点AB的中点横坐标为x0＝

x1+x2

∵f（x₂）-f（x₁）=lnx₂-lnx₁-[

a(x2+x2)+b](x2?x1)=0
∴lnx₂-lnx₁=[

a(x2+x2)+b](x2?x1)
f′（x₀）=

?ax0?b=

x2?x1

×[

?1)

?ln

]
设t＝

，则y=

?1)

?ln

已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II

已知函数f（x）=lnx-12ax2-bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II