全国数学建模竞赛A题解法~~~~~~

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

随着社会经济的发展，汽车逐步普及，路边加油站的数目也逐渐增多.一般加油站都采用卧式油罐存储油料.油罐埋在地下，可以根据油浮子测得的油位高度计算出此时刻的储油量.受地基变形等影响，油罐的位置发生变化，从而引起对应罐容表的变化.本文以储油罐的变位识别和罐容表标定为研究对象，运用微积分的思想，建立储油罐的变位识别与罐容表标定模型，利用MATLAB求解得出相应的罐容表，并利用附件中的数据检验了模型的正确性与方法的可靠性.
针对问题一，本文采用微积分的思想，将体积进行微元，然后运用定积分方法求二重积分得到罐内油位高度与储油量之间的对应关系为：

建立了罐内储油量关于油位高度的数学模型，再选取一个初始油位高度值，取油位高度步长 ，运用MATLAB编程得到罐体变位后的罐容表标定值(见表1所示)，而变位之前即为 的特殊情况.
针对问题二，与问题一的不同之处在于实际罐体多了两头的球罐体，此时将油料体积分为三部分来求，中间圆柱体油料体积与问题一算法一样，采用微积分思想，分别近似算出两头球冠中的油料体积,则

由实验数据求得变位参数：
，
罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值(见附录四).
利用实际检测数据作图检验了所建模型的正确性.
本文在建模过程中采用微积分的思想.运用微积分定量求解的结果精确度比较高，体现了模型的合理性与方法的可行性，整个过程体现了建模过程的严密性.本文所建模型在实际中应用广泛，特别是对容器内液体的体积计算有指导作用.还可推广到投资与回报问题、广告效应问题、饮料罐的设计问题等，值得推广.

关键词：卧式储油罐，微分法，变位识别，罐容表标定

一 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定.需要解决以下问题：
(1) 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体)，分别对罐体无变位和倾斜角为 的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示.建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值.
(2) 对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度 和横向偏转角度 )之间的一般关系.利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据(附件2)，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性.

二 问题分析

本文建模的目的是解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，关键要解决以下问题：
(1) 首先，为了建立罐体变位后对罐容表的影响模型，可采用微积分的思想，将体积进行微元，然后可运用积分方法求二重积分得到罐内油位高度与储油量之间的对应关系，建立罐内储油量关于油位高度的数学模型.本文拟运用MATLAB软件作误差分析，最后可选取一个初始油位高度值，取油位高度步长 ，通过编程得到罐体变位后的罐容表标定值.
(2) 为了建立实际储油罐罐体变位后罐容表的数学模型，比较问题一和问题二，首先可将问题二油料体积分为三部分进行求解，即中间一段卧置圆柱体油料体积与两头球冠体中的油料体积，中间一段卧置圆柱体油料体积的计算与问题一类似，两头球冠体中的油料体积，拟采用微元思想，建立储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数的数学模型.然后可以根据附件2中的实际检测数据确定出变位参数 ，确定出变位参数后将 看作已知数，可选取一个初始油位高度值，取油位高度步长 ，通过编程得到罐体变位后的罐容表标定值.最后，为了体现本文所建模型的正确性与方法的可靠性，本文拟利用附件2中的数据来分析检验.

三 模型假设

1．假设储油罐没有发生形变．
2．假设储油罐内油料的体积不随温度的变化而变化，即建模时不考虑液体的热胀冷缩．

四 符号说明

油位高度

油面与坐标平面之间的距离

横截面上椭圆的半长轴

横截面上椭圆的半短轴

同一液面高度下椭圆柱体内油品体积

同一液面高度下椭球体内的油品体积

椭圆柱体的轴长

截面面积

球冠体的半径

同一油面高度是油料体积的绝对误差-

五 模型建立与求解

5.1 小椭圆储油罐变位后对罐容表的影响
为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，本文采用微积分的思想，将体积进行微元，然后运用二重积分求得罐内油位高度与储油量之间的对应关系，于是需要建立三维直角坐标系.
5.1.1 小椭圆储油罐变位前的罐容表
以油位探针所在的截面为 平面，以其所在截面椭圆中心为原点，油位探针所在的直线为 轴，探针所在椭圆长轴所在直线为 轴，过椭圆中心 并与椭圆垂直的直线为 轴，建立图1所示的三维直角坐标系.

图1 小椭圆油罐建系图
所在平面截面图如图2所示，图中阴影部分表示油面柱体与截面椭圆的部分，面积为 ，则罐中油所占的体积 为：

其中 为椭圆柱体的轴长.由题意可得

图2 小椭圆截面图
由图2知，油罐底面的椭圆方程为：
(1)
其中 ,
采用微元思想，图3中的阴影部分可以近似看作一个小矩形，设其面积为 ，则有
(2)

图3 小椭圆油罐截面微元分析图
则有所占体积 为：
(3)
考虑到油面高度 与短轴 之间的大小关系，下面分三种情况求解油面体积：
当 时，即油面在 平面之上，则
(4)
其中 是半椭圆的面积，则
(5)
是位于 轴上方阴影部分的面积.如果把 看作自变量，则
(6)
由积分得 轴上方阴影部分的面积
(7)
令 ，则 ， ，所以
(8)
于是
(9)
联立(3)和(9)，得
(10)
记
(11)
(12)
(13)
联立(11)、(12)，(13)与(10)得到油所占体积
(14)
当 时，即油面在 平面之下，则同理由微元思想，运用微积分知识，联立(4)、(11)、(12)与(13)得

(15)
当 时，即油面正好为 平面，此时油面体积 为

其中
根据对附件1中无变位时进油的油位高度与累计进油量的数据的处理，以及运用问题一中的模型对无变位时储油量求解，运用MATLAB软件对实验采集的数据与本文模型得算出的数据进行对比分析，所做对比图如图4所示(程序见附录一)：

图4 实际数据与模型数据
由图4可以直观的看出模型所得的曲线与实验采集数据很吻合，精确度比较高，作误差分析发现平均绝对误差 ，从而说明本文所建模型是合理的.
5.1.2 小椭圆储油罐变位后的罐容表
以油位探针所在的截面为 平面，其所在截面椭圆中心为原点，油位探针所在的直线为 轴，探针所在椭圆长轴所在直线为 轴，过椭圆中心 并与椭圆垂直的直线为 轴，建立图5所示的三维直角坐标系.变位后，所建 三维直角坐标系相对水平面纵向偏转 ，则 轴相对水平面的角度为 .

图5 纵向变位后油位变化
用 表示油面与 平面的交线(图中的直线 )上各点的 轴坐标，如图5所示，以下根据不同情况下 正负号的差异分以下三种情况进行讨论分析：
第一种情况：当 时，即变位后油面全在下半椭圆截面以上，如图6所示.

图6 变位后油面全在半椭圆截面以上
第二种情况：当 时，即变位后油面全在下半椭圆截面以下，如图7所示.

图7 变位后油面全在半椭圆截面以下
第三种情况：当存在一个 使得 时，即变位后油面与 平面相交，此时有一部分油面在 平面之上，有一个平面在 之下，如图8所示.

图8 变位后油面与 相交
三种情况最后都归结到用二重积分来求油料体积，如图9所示，图中阴影部分表示油面柱体与截面椭圆的部分，对截面面积沿着 轴积分得到
(16)

图9 变位后截面图
将阴影部分看作一个 型区域，对曲线 积分得截面面积 ，则
(17)
对截面面积 沿着 轴从 到 积分， 、 点的位置如图10所示，其中 点为 轴与左截面短轴的交点， 点为 轴与右截面短轴的交点.

图10 变位后小椭圆油罐正面示意图
联立(16)、(17)得到油罐内油料的体积为
(18)
其中 为图9中油层各点的 轴坐标，则有关系
(19)
为油位高度， 为图9中油层各点的 轴坐标.
联立(18)、(19)式得到
(20)
对(20)式进行积分，积分结果为
(21)
其中
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
对附件1中倾斜变位进油中油位高度与累计进油量的数据作相应的处理，同时对相同的油标高度，运用所建模型求得对应的一组储油量数据，用MATLAB软件对这两组数据作图(程序见附录二)得到变位时油高与油量的实验曲线与模型曲线如图10：

图11 变位后油高与油量的实验曲线与模型曲线
由图像可知，变位后所建立的模型与实验数据非常符合，说明所建模型之正确的.
5.1.3 罐体变位后油位高度间隔 的罐容表标定值
罐体变位后，利用罐体变位后所建模型得到油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如下表1，其中 表示油位高度， 表示罐内油的体积：

表1 0.2m~0.72m油位高度的罐容表
H
V
H
V
H
V
H
V

0.2 0.2819 0.34 0.738 0.48 1.2886 0.62 1.8851
0.21 0.3098 0.35 0.7749 0.49 1.3301 0.63 1.9285
0.22 0.3385 0.36 0.8122 0.5 1.3719 0.64 1.9719
0.23 0.3681 0.37 0.85 0.51 1.4139 0.65 2.0154
0.24 0.3985 0.38 0.8882 0.52 1.456 0.66 2.0588
0.25 0.4297 0.39 0.9267 0.53 1.4984 0.67 2.1023
0.26 0.4615 0.4 0.9657 0.54 1.5409 0.68 2.1457
0.27 0.494 0.41 1.005 0.55 1.5835 0.69 2.1891
0.28 0.5271 0.42 1.0446 0.56 1.6263 0.7 2.2325
0.29 0.5609 0.43 1.0845 0.57 1.6692 0.71 2.2758
0.3 0.5952 0.44 1.1248 0.58 1.7122 0.72 2.3191
0.31 0.6301 0.45 1.1653 0.59 1.7553
0.32 0.6656 0.46 1.2062 0.60 1.7985
0.33 0.7015 0.47 1.2472 0.61 1.8418

5.2 实际储油罐变位后对罐容表的影响
5.2.1 罐体变位后标定罐容表
以球罐体与中间柱体相交面作为 平面，以截面圆所在圆心为坐标原点 ，以过 点且与 平面垂直的直线作为 轴，以过 点且与水平面垂直的直线为 轴，建立图12 所示的三维直角坐标系.

图12 变位后圆油罐正面示意图
所求油面的体积可分为中间圆柱体中油料体积与两头球冠体中的油料体积之和，先求左端球罐体中油料体积 ，由几何公式可知
(27)
(28)
其中 表示在球罐中没有油料的体积， 表示球冠的体积， 表示冠体的深度，
如图13所示截面，设 平面油面高度为 ，其中 则油上面部分的为 ，

图13 油面截面图
由积分公式得：
(29)
其中 表示油面与球面相交在 平面所得的曲线，它是球面的一部分，又此时球的方程为：
(30)
解得：
(31)
表示油面与 轴所成夹角，则球面在 平面的截线方程为
(32)
则联立(31)、(32)即可求得两线交点的 轴坐标 ，得

其中 ， ， ，则截面的面积 为：

其中

则体积 为：

其中

为了简化表达式，其中

)
则左端球罐体中油料体积 为：

同理求左端球罐体中油料体积 ，这时只要取

中间圆柱体中油料体积 类似于问题一的求解，这样就可以建立模型，
(18)式给出了罐内储油量与油位高度即变为参数之间的一般关系，编写程序，运用MATLAB软件求得

确定出变位参数后取一个初始油位高度，以 为油位高度间隔，得出罐体 变位后罐容表标定值.
5.2.2 变位参数的确定及模型的检验
针对所建立的模型根据题目附表一的数据代入模型中，就可以确定变位参数，根据所建立的模型可以求解油位高度间隔为 的罐容表标定值，进而可以对模型进行分析与检验(程序见附录三).

图14 实际曲线与模拟曲线
六 模型分析与检验

为了检验本文建立的小椭圆型储油罐变位后所建立模型的合理性，进一步可计算实验有料体积与模型求解所得体积之间的相对误差 ：

其中 表示题目附表1中实验数据， 表示本文所建模求解得到的数据.
通过MATLAB计算相对误差，并绘制相对误差与油位高度之间的关系图15.

图15 相对误差与油位高度之间的关系
由上图可知相对误差都比较小，同时还可以得到一组误差数据，可求得平均误差 为：

进一步检验了本文所建立的模型是非常合理的.

七 模型改进

本文所建立的模型求解过程复杂，可以用另一种算法对它进行改进.
罐体纵向变位和横向变位不会影响罐内油料体积的变化，但是会影响油位高度的变化，所以在模型建立的时候可以先算出变位前油料体积，然后找出横向倾斜与纵向倾斜对油位高度的变化，本文先考率纵向倾斜对罐容表的影响，在此基础上再考虑横向倾斜对罐容表的影响.
(33)
其中 表示油罐较低一端凸头部分的容油量， 表示油罐较高一端凸头的容油量.
用近似计算公式如下：
(34)
(35)
的计算与问题一中的计算法一样，对于实际圆柱体储油罐，令 ，利用公式(33)~(37)即可计算出 .下计算两头的油料体积.
拱凸度：
相对高度：
表的制作，见参考文献 ：
(36)
每一个 都对应一个 值，运用MATLAB软件可以进行求解.
表制作后联立(33)~(36)即可以算出纵向倾斜后罐内油料的体积.
考虑到横向倾斜，横向倾斜后
(37)
(37)式给出了罐内储油量与油位高度即变为参数之间的一般关系，编写程序，运用MATLAB软件求得：

确定出变位参数后取一个初始油位高度，以 为油位高度间隔，得出罐体变位后罐容表标定值.

八 模型的评价与推广

1．模型优点
本文采用微积分思想建立数学模型，所建立的模型应用十分广泛，理论推导出的结果与实际结果很相近，绝对误差很小.模型具有普遍性，建模用的微积分方法值得推广.
2．模型缺点
运用微积分使得计算过程相对比较复杂，模型求解有待进一步改进.
3．模型推广
本文建立的储油罐的变位识别与罐容表标定模型应用范围广泛，可以应用到任一液体体积计算，还可应用到种群增长问题、自然资源的消耗问题、地震的强度与震级问题、比赛门票问题等诸多方面，值得推广.

九 参考文献

[1] 管冀年，赵海，卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法，计量与测试技术，31(3)：20-21,2004.
[2] 王郑耀，卧式加油罐剩余油料体积的计算，http://wenku.baidu.com/view/36f0621c59eef8c75fbfb391.html ，2010-9-12.
[3] 付昶林，黑龙江八一农垦大学，倾斜油罐容量的计算，(2)：43-52，1981.
[4] 刘焕彬等，数学建模与实验，北京：科学出版社，2008.

答案3000元一份~````你要不`？