（1）解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=
BD，EF=HG=1 2
AC，1 2
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）如图，设EG与HF交于点O．
由（1）知，四边形EFGH是菱形，则EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=16，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=16×4=64，
∴（2OE）2+（2OH）2=64，
即EG2+FH2=64．
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