高等数学 1题不定积分求详解

(1)

∫x²e^(-2x)dx

=(-½)∫x²d[e^(-2x)]

=(-½)x²·e^(-2x) +½∫[e^(-2x)]d(x²)

=(-½)x²·e^(-2x) +½∫[2x·e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +∫[x·e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)∫xd[e^(-2x)]

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +½∫[e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +½·(-½)∫[e^(-2x)]d(-2x)

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +(-¼)e^(-2x)+C

=-¼(2x²+2x+1)·e^(-2x)+C

(2)

令lnx=t，则x=e^t

∫ln²xdx

=∫t²d(e^t)

=t²·e^t -∫(e^t)d(t²)

=t²·e^t -∫(2t·e^t)dt

=t²·e^t -2∫td(e^t)

=t²·e^t-2t·e^t+2∫(e^t)dt

=t²·e^t-2t·e^t+2e^t +C

=x·ln²x-2x·lnx+2x+C

两次运用分布积分法，将e的函数提进去