230问答网 > 高中数学 a b c 为不全相等的正数求证: (b+c-a)⼀a+(a+c-b)⼀b+(a+b-c)⼀c>3

高中数学 a b c 为不全相等的正数求证: (b+c-a)⼀a+(a+c-b)⼀b+(a+b-c)⼀c>3

2024-11-28 12:18:34

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回答1：

因为 (b+c-a)/a = (b+c)/a - 1，(a+c-b)/b = (a+c)/b - 1，(a+b-c)/c = (a+b)/c - 1，所以只要证明 (b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c>6 即可。
(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c
=(b/a+c/a)+(a/b+c/b)+(a/c+b/c)
=(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(c/b+b/c) (由均值不等式)
≥2+2+2
=6
上述等号成立当且仅当 a=b=c，但由题意，a,b,c 不全相等，所以等号不能成立。从而 (b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3.

高中数学 a b c 为不全相等的正数 求证: (b+c-a)⼀a+(a+c-b)⼀b+(a+b-c)⼀c>3

高中数学 a b c 为不全相等的正数求证: (b+c-a)⼀a+(a+c-b)⼀b+(a+b-c)⼀c>3