数值模拟

2025-03-01 09:19:02

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回答1：

数值模拟（数值法）是对数学模型的一种近似解法，它仅能求出计算域内有限点某个时刻水头的近似值，这个值在实际应用中可以满足精度要求。数值法可以解决许多复杂水文地质条件下的渗流计算问题，应用十分广泛。如用于大中型水源地、地下水的补径排条件复杂、渗流区形状不规则、含水介质为非均质各向异性等条件下，确定水头分布和流量计算。

（一）渗流区域离散化（以二维流为例）

采用数值模拟技术研究地下水的运动，首先将要研究的水文地质模型内的含水层离散化。所谓离散化，就是将要研究的渗流区非均质各向异性含水层，按照一定的方式剖分（分割）成许多相互联系的小均衡区，在每个小均衡区内是均质各向同性的。在每个小的均衡区内，其含水层参数视为常数；其中心水头值或有条件下的平均水头值视为小均衡区内水头代表值。剖分通常采用两种形式（矩形、多边形）进行。

1.矩形均衡域

它是用两组正交的平行线把均衡区分为许多小的矩形均衡域，如图7-3所示。在剖分时约定：①定水头或已知水头边界（一类边界）应从小均衡域的中心通过；②隔水边界（二类边界）与小均衡域的边界重合。这种剖分方法类似于直角坐标系，用适当的编号标定小区域及节（结）点（小均衡域的中心点）。常用的术语有：

图7-3 渗流区被剖分成矩形小均衡域

（据李俊亭等，1987）

1）点、行、列，点（节点）为小区域的中心点，网格的横向称行，竖向称列。

2）步长，分为空间步长（Δx，Δy，Δz）（图7-3）和时间步长（Δt）。

3）小区域及节点编号统一记为（i，j），表示小区域及节点位于第i行第j列。

2.多边形均衡域

由于多边形均衡域与复杂边界的几何形状比较接近，因此使用较多。它是先按三角形剖分渗流域，再以三角形为基础构成多边形均衡域，见图7-4。常用的术语及注意事项：

1）点元、面元、线元，三角形的边称线元，三角形的顶点称点元（节点或结点），三角形的面积称面元；

2）要求剖分时三角形的单个内角取30°～90°；

3）渗流区剖后的面积与原面积要吻合，既不要重复也不要开裂。

（二）基本均衡离散方程（以规则网格的有限差分方法为例）

将图7-3中的（i，j）的均衡区与相邻均衡域的水量交换关系表示在图7-5上。

图7-4 渗流区域三角形

图7-5（i，j）均衡区的流量关系示意

（据李俊亭等，1987）

1）均衡时段为Δt_n+1：

Δt_n+1=t_n+1-t_n0

表示点（i，j）上t_n时刻的水头。

2）若（i，j）均衡区内不存在垂向水量交替，则依据水均衡原理有：

地下水动力学

在x轴方向上不同均衡时段分别为：

地下水动力学

式中：

地下水动力学

3）考虑到式（7-14）与式（7-15）的不同，会产生不同的计算结果。计算方案（差分格式）将写出如下通式：

地下水动力学

式中：0≤θ≤1。θ常取3种情况：①当θ=0时称有限差分法的显示差分格式；②当θ=1/2时称有限差分法的对称（中心）差分格式；③θ=1称有限差分法的隐式差分格式。

有限差分方程实际上是基本微分方程的近似表达式，其近似程度可用泰勒级数进行分析。通过微分方程的差分表达式，可以看出在利用差分格式代替微分式时，是存在误差的，即用有限差分方程组模拟地下水流系统会产生误差。

（三）对于边界条件和垂向水量交换的处理

不论是已知水头的一类边界或已知流量的二类边界，计算点落在边界上，该点就不需要列入均衡方程。垂向水量交换的处理也是如此，若点与抽水井重合，该点已列入均衡离散方程时，抽水量就直接参与该点所在均衡区的水均衡。

（四）均衡离散方程的解算

显然，在含水层参数和边界条件都给定的条件下，只要知道某时刻流场中所有点的水头值，就可计算出下个时间步长的所有点的水头。即在已知初始条件的基础上，可以计算不同时刻各点水头值、不同时刻的流场。对于这类问题的求解方法，从广泛使用微机处理的角度来看，超松弛迭代为许多研究者所采用。

（五）应用

综上所述，在已知初始条件、边界条件、垂向水量交换以及给定含水层参数的情况下，可计算渗流区内不同时刻、不同节点的水头值。当前，不论是在地下水资源评价的水量计算中，还是在矿山开采地下水的疏干计算或在因大面积地下水位下降引起的地质灾害防治中，数值法都得到了广泛应用。

目前有许多地下水数值法计算软件，适应性强、有较高的仿真性，广为采用，例如，MOP-FLOW（孔隙水三维有限差分法数值计算软件），GWMS-3D（二维或三维地下水流和污染物质运移数值模拟软件）等。

（六）实例

通过实例的学习，使同学们对用数值法求解过程有所了解。这个过程包括：①水文地质条件概化，建立概念模型；②根据水文地质概念模型，建立数值模型；③剖分计算区，整理计算资料；④校正数值模型；⑤验证数值模型；⑥运用模型进行预报。

实例位于太行山东麓冲洪积扇的交界处。含水层为第四纪松散层，上部为细砂和粉砂层，下部为砂卵砾石、粗砂砾石加土层、含粘土砾石层等。上部含水层地下水已被疏干，当前开采层埋深为40～80m，水位埋深多在10m以下，漏斗中心区已达30m。边沿部分地区水位埋深为2～10m。

1.水文地质概念模型

①含水层底板为隔水粘土层；②含水层主要为非均质各向同性的潜水含水层；③计算区的边界三面为已知水头的一类边界，另一面为不同程度的弱透水层，计算区面积近600km²；④区内有开采井；⑤地下水流为非稳定平面流，水流符合达西流。

2.数值模型

1）微分方程：

地下水动力学

2）初始条件：H（x，y，0）=H₀（x，y）

3）一类边界条件：H（x，y，t）｜_Γ₁=H₁（x，y，t）

4）二类边界条件：

地下水动力学

式中：W为汇源项，由降水入渗量和井的开采量代数和求出；n为内法线；其他符号同前。

3.剖分计算区并整理计算资料

将计算区剖分为506个小区、230个节点，其中第一类边界点40个，二类14个，取旱季为模型校正时段，给出10个分区参数并经过试验给出参数初值。

4.校正数值模型

校正结果表明，微分方程和边界条件吻合。

5.验证数值模型

取雨季水位资料，分7个时段进行水位验证。根据验证资料绘制高低水位拟合图以及其他所需拟合图件，证明拟合程度良好，符合规范要求。

6.模型使用

利用验证过的符合实际的模拟模型，根据设计水位预计开采量，或根据设计的开采量预计不同时段的水位降低，尤其是漏斗中心的水位降低。

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