已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处

2024-11-24 11:01:58

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回答1：

（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

a＝3

b＝3

．
（2）由题设a²=4b，设h(x)＝f(x)+g(x)＝x3+ax2+

a2x+1
则h′(x)＝3x2+2ax+

a2，令h'（x）=0，解得：x1＝?

，x2＝?

；
∵a＞0，∴?

＜?

，

（-∞，-

）

，?

)

，+∞）

h′（x）

h（x）

极大值

极小值

∴原函数在（-∞，-

）单调递增，在(?

，?

)单调递减，在(?

，+∞）上单调递增
①若?1≤?

，即0＜a≤2时，最大值为h(?1)＝a?

；
②若?

＜?1，即a＞2时，最大值为h(?

)＝1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h(?1)＝a?

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h(?

)＝1．