构造法的数列构造

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。

2an=a(n-1)+n+1

2an-2n=a(n-1)-n+1

2(an-n)=a(n-1)-(n-1)

(an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2，为定值。

有通用的方法的。

可设2an+2m(含n的式子)=a(n-1)+m(与等式左边对应，除了n换成n-1外，其余都相同的式子)

求出m就可以了。

例如本题：

2an=a(n-1)+n+1

令2an-2mn=a(n-1)-m(n-1)

即2an=a(n-1)+2mn-mn+m=a(n-1)+mn+m=a(n-1)+m(n+1)

则有m(n+1)=n+1

m=1

代回去：

2an-2n=a(n-1)-(n-1)

扩展资料：

构造数学与非构造数学之间的联系表现在“共生性”与“分岔性”上。至今，数学的构造性方法的进展始终是直接因袭标准的非构造数学想法而得到的。因此人们往往产生一种错觉，以为构造数学“寄生”于非构造数学而发展。

其实不然，往往构造数学比非构造数学能为某些定理提供更加自然、更加简单的证明，甚至可能得出一些新的非构造数学的定理。所以，这两种类型的数学之间的关系是相辅相成的共生性关系。

参考资料来源：百度百科-构造法

高中数学主要学习了等差数列和等比数列，但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列。 遇到a(n)=M×a(n-1)+C(C为常数）时，可构造等比数列。
如：a1=1，a(n+1)=2a(n)+1
可以左右同时加一得：(a(n+1)+1)=2(a(n)+1) 变成等比数列
得 a(n)+1=2n
从而a(n)=2n－1
例如，求525，231的最大公约数。
525=231×2+63，
231=63×3+42，
63=42×1+21，
42=21×2。
最后的余数为21，所以，525，231的最大公约数为21。
求上述两个数的最大公约数是经过有限个步骤而得到，因此，这是构造性的方法。
再如，求一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可用求根公式在有限步骤内求出来。这也是构造性的方法。
现在考虑连续函数的最值定理：闭区间上连续函数有最大(小)值。在数学分析中证明这个定理时，只谈这个最值的存在，并没有给出一能行的过程在有限步骤内把这个最值计算出来，这是非构造性的方法。
图是一些顶点和一些线段的组合，在图论中给出了确切的定义，这个定义是属于构造性的。
通过以上几个例子，可以明显地看出构造法具有如下两个基本特征：
1．对所讨论的对象能进行较为直观的描述；
2．实现的具体性，就是不只是判明某种解的存在性，而且要实现具体求解。 对于a(n+1)=M×a(n)+f(n)的形式（f(n)不为常数），可构造等差数列。
已知b(n)=3×2(n－1)，b(n)=a(n+1)－2a(n)，求an通项公式
整理得a(n+1)=2×an+3×2(n－1)
两边同除2(n－1)得 a(n+1)/(2(n-1))=a(n)/(2(n－2))+3
所以a(n)/(2(n－2))为等差数列
所以an/(2(n－2))=a1/(2(n－2))+3(n－1)
从而表示出an

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。
例1： a1=1， an+1=2an + 3*（1/2）^(n+1)
看好，前后像等比，却又多了一项，且此时该等比数2和后面加的那个（1/2）不一样。这一点很重要，我们构造形式一致：
【an+1+p*（1/2）^(n+1)】=2【an + p*（1/2）^(n+1)】 看到一定要凑形式上的一致。 待定系数，反过来展开和原来式子作比对。对应系数，项都相等。
得p=1
【an+（1/2）^(n)】这个数列成等比数列，公比为2 ，看好 ，里面的n在变化，这是第n项，下一项是n+1 里面1/2的指数那里当然相应地也是n+1 ，这就是形式上严格一致。渗透了待定系数的思想原理。

例2： 已知正数数列列：nan -（n+1）a（n+1）=2n（n+1）an*an+1 ，求an，n∈N*
此题连同上面一道题都是我亲手现编的，可以看到比较复杂。
但是这道题目不难发现，两边n（n+1）存在重复情形，所以两边做除法，反正n∈N*，可以除。而且一样的是，an*a（n+1）和上面n（n+1）也是一样重复，又是正数列，除吧。
一做除法，欣然欢喜：1/(n+1)*a(n+1) - 1/n*an=2 原来1/n*an 是倒数成等差数列啊。
此题上来一个大式子很吓人，稍作变形，而且往倒数方向考虑，约去重复对称的项和式子。拨云见日。
先整两个例子，以后还有问题，找我和我的团队就行

高考数学构造法解决数列难题，你懂了吗？

情人怨遥夜，竟夕起相思。